已知等边三角形ABC中，点D E F分别为AB,AC ，BC边上的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形

如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角~

（1）、连接DF，
点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，
——》DB=DF=EF=BF，∠BDF=∠DFE=60°，
△DMN为等边三角形，
——》DM=DN，∠MDN=60°，
——》∠MDB=60°-∠BDN=∠NDF，
——》△MDB≌△NDF，
——》MB=NF，∠NFD=∠MBD=180°-∠ABC=120°，
∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°，
——》N、F、E三点共线，
EN=EF+NF=BF+MB=MF。
（2）、若点M在点C右侧时，点N在BC的上方，连接DF、NF，
同样，有DB=DF，DM=DN，∠MDB=60°+∠FDM=∠NDF，
——》△MDB≌△NDF，
——》MB=NF，∠NFD=∠MBD=60°=∠DFE，
——》N、F、E三点共线，
EN=NF-EF=MB-BF=MF。

解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，

（2）成立．
方法一：连接DE，DF．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线、
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE．
方法二：
延长EN，则EN过点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴EF=DF=BF
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN
又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN
∴BM=FN
∵BF=EF，∴MF=EN．
方法三：
连接DF，NF
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF为三角形的中位线，
∴DF= 12AC= 12AB=DB
又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN，∠BDM=∠NDF，
∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN．

（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．

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（1）EN⊥MF，EN=MF。F在NE 上。∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°
∵△DMN是等边三角形
∴∠MDN＝60°，DM=DN
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴EN=MF∴∠DNE设EN与BC交点为P，连结NF
由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形
∴∠MDN=∠BDF＝60°
∴∠MDN－∠BDN =∠BDF－∠BDN
即∠MDB=∠NDF
在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF
∴△DMB≌△DNF
∴∠DBM=∠DFN
∵∠ABC =60°
∴∠DBM =120°
∴∠NFD =120°
∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°
∴N、F、E三点共线
∴F与P重合
∴F在直线NE上∵∠NFD =120°∠NED＝∠ENF=60°∴∠DNE=30°，∴MNE＝90°综上所述EN⊥MF，EN=MF。F在NE 上（2）∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点
∴DE，DF，EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF+∠FDN=60°
∠NDE+∠FDN=60°
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE,∠MDF=∠NDE， DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE
其余同理可证... 希望采纳..这么多..给点加分吧...

可以考虑建个坐标 通过点和斜率来判断

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建邺区19585262335： 如图,已知在等边三角形ABC中,点D、E分别是AB、BC延长线上的点,且BD=CE.求证:DC=AE. - ？
尘放天晴：[答案] 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° BC= CA, ∴∠DBC=∠ECA=180°-60°=120°, 在△DBC与△ECA中, DB=EC,∠DBC=∠ECA,BC=CA, ∴△DBC≌△ECA( SAS), ∴DC =AE.

建邺区19585262335： 已知,如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,AD=CE,CD与BE交于F,DG⊥BE,求证:(1)∠ACD=∠CBE;(2)DF=2GF. - ？
尘放天晴：[答案] 证明:(1)∵△ABC是等边三角形, ∴AC=BC,∠A=∠ACB=60°, 在△ACD和△CBE中, AD=CE∠A=∠ECB=60°AC=CB, ∴△ACD≌△CBE(SAS), ∴∠ACD=∠CBE; (2)∵∠ACD=∠CBE, ∴∠DFG=∠CBE+∠DCB =∠ACD+∠DCB =∠ACB ...

建邺区19585262335： 已知:如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别是AB、BC延长线上的点,且BD=CE.求证:DC=AE. - ？
尘放天晴：[答案] 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°,BC=CA. ∴∠DBC=∠ECA=180°-60°=120°. 在△DBC与△ECA中, DB=EC∠DBC=∠ECABC=CA, ∴△DBC≌△ECA. ∴DC=AE.

建邺区19585262335： 如图,已知等边△ABC中,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE相较于点F.当AD=a,DF=b时,求BD的长. - ？
尘放天晴：[答案] △BDF≌△BEC BD/BE=DF/CE BD=CE=a/√3;BE=a 所以BD=a/3

建邺区19585262335： 已知:如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别在直线AB、直线AC上,且AE=BD.(1)当点D、E分别在边AC、边AB上时,如图1所示,EB与CD相交于点... - ？
尘放天晴：[答案] (1)证明:∵△ABC为等边三角形, ∴AB=BC,∠A=∠ABC=60°, 在△ABE和△BCD中, AE=BD∠A=∠DBCAB=BC, ∴△... AB=BC∠EAB=∠CBDAE=BD, ∴△ABE≌△BCD(SAS), ∴∠D=∠E, ∵∠ABE=∠DBG,∠CAB=∠E+ABE=60°, ∴∠CGE=...

建邺区19585262335： 已知,如图,在等边三角形abc中,点d,e分别在ab,ac上,且bd等于ae,cd交be于点o,df垂直于be,点f为垂足,求证:od等于2of - ？
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建邺区19585262335： 已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在AC、BC边上,且AD=CE,AE与BD交于点F,则∠AFD的度数为() - ？
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建邺区19585262335： 一道图形题.如图,已知在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC上的点,且AD=BE,AE、CD相交于F,AG⊥CD,垂足为点G,说明∠FAG=30° - ？
尘放天晴：[答案] 证ace全等于cbd得角cae=bcd,所以角caf+fca=60度,所以外角afg=60度,又因为AG⊥CD,所以角afg+fga=150度,所以角fag=30度.知道了吧

建邺区19585262335： 等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.求证AD=CE,求∠DFE的度数 - ？
尘放天晴：[答案] 证明:1.因为,三角形ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上;所以,∠DBA=∠EAC=60度;BA=AC;因为,已知BD=AE;所以,三角形ABD全等于三角形CAE;(两边一夹角)所以,AD=CE.2.由第1小题证明得:三角形ABD全等于三角...

建邺区19585262335： 初中三角形问题等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,BD=1/3 BC ,CE=1/3CA, AD,BE相交于点P.求证, AP垂直CP. - ？
尘放天晴：[答案] 证明:连接DE,过点E作EF垂直BC于点F所以角DFE=角CFE=90度由勾股定理得:DE^2=EF^2+DF^CE^2=EF^2+CF^2因为三角形ABC是等边三角形所以AB=BC=CA角BAC=角ABC=角C=60度设BD=x因为BD=1/2BC CE=1/3CA所以CE=xDC=2...