判断偏导数是否连续

如何证明偏导数是连续的？~

偏导数连续证明方法：
先用定义求出该点的偏导数值c,再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y),最后求fx(,x,y)当(x,y)趋于该点时的极限,如果limfx(x,y)=c,即偏导数连续,否则不连续。

扩展资料：
1、偏导数的求法：
当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。
此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。
按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
2、偏导数的几何意义：
偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
注意：
f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

先用定义求出该点的偏导数值c，再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y)，最后求fx(,x,y)当(x,y)趋于该点时的极限，如果limfx(x,y)=c，即偏导数连续，否则不连续。
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。


判断可导、可微、连续的注意事项：
1、在一元的情况下，可导=可微->连续，可导一定连续，反之不一定。
2、二元就不满足以上的结论，在二元的情况下：
（1）偏导数存在且连续，函数可微，函数连续。
（2）偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。
（3）函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。
（4）函数连续，偏导数不一定存在，函数不一定可微。
（5）函数不连续，偏导数不一定存在，函数不可微。
对函数z求全微分得：
dz=f1'(2xdx-2ydy)+f2'(1dx-1dy)/(x-y)，即：
dz=[2xf1'+f2’/(x-y)]dx-[2yf1'+f2’/(x-y)dy,
根据全微分与偏导数的关系，得：
dz/dx=2xf1'+f2’/(x-y),
dz/dy=-[2yf1'+f2’/(x-y)。
直接求导法：
求z对x的偏导数时，把y看成常数，此时有：
dz/dx=f1'*(2x-0)+f2'*(1-0)/(x-y)
=2xf1'+f2’/(x-y);
同理，求z对y的偏导数时，x看成常数，则：
dz/dy=f1'*(0-2y)+f2'*(0-1)/(x-y)
=-2yf1'-f2'/(x-y)。

判断偏导数是否连续
问题一：怎么判断这道题的偏导数是否存在，是否连续？连续是要在点（0，0）的一个邻域内所有值都相等，当以直线Y=KX靠近时，显然与K值有关，所以不连续。对X的偏导存在只需在X轴方向上邻域内的值相等就行，所以存在。对Y同理。
（但是全微分就不存在）

问题二：给定一个二元函数怎么判断是否连续偏导数是否存在首先偏导数连续是可微的充分条件,偏导数存在是可微的必要条件,也就是说存在一些偏导数不连续的函数但仍可微,也存在一些偏导数存在的函数但不可微,而可微一定连续（连续不一定可微）,所以从偏导数存在是得不出函数连续的,按照上面的分析,你写的那三条当然都是不能逆向推理的.事实上偏导数连续虽然能推出函数连续,但条件过强,而偏导数存在这个条件又由于太弱从而推不出函数连续,比较“适中”的条件是,偏导数在一点的某个邻域内有界,则函数在该点连续,这是一个定理.以上说的那些不能推出的,都是有反例的,有兴趣的话你可以自己在书上找找.

问题三：如何判断一个函数在一个点处是否存在偏导数和是否连续函数在该点的左右极限相等且等于该点函数值则连续，用偏导数定义求偏导数若极限存在则偏导数存在

问题四：如何证明偏导数是连续的？先用定义求出该点的偏导数值c,再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y),最后求fx(,x,y)当(x,y)趋于该点时的极限,如果limfx(x,y)=c,即偏导数连续,否则不连续.

问题五：如何判定偏导数连续偏导数要存在，则函数的左极限等于右极限，左导数等于右导数。也就是说由偏导数存在能够推出函数连续。但是函数连续无法推出偏导数存在，比如三角波信号，三角形顶点左极限等于右极限，但是左导数和右导数一个为正，一个为负。。。。。嗯。。。这个是必要非充分吧，A

问题六：偏导数是否连续。函数
f(x,y)=(x2+y2)sin[1/(x2+y2)]，x2+y2≠0，
=0，x2+y2=0，
的偏导数
fx(x,y)=2xsin[1/(x2+y2)]+(x2+y2)cos[1/(x2+y2)]*[-2x/(x2+y2)2]，x2+y2≠0，
=0，x2+y2=0，
其中
fx(0,0)=lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/x
=lim(x→0){x2sin[1/(x2+y2)]-0}/x
=lim(x→0)xsin[1/(x2+y2)]
=0。
易验
lim(x→0)fx(x,y)=0=fx(0,0)，
即fx(x,y)在(0,0)连续。同理，可证另一个偏导数的连续性。
不明白可追问，没有请采纳，您的采纳才是对答题者最好的谢谢。

问题七：左右导数为什么可以判断导数是否连续这问题别问了，这是个基本概念问题，你能问出来说明你需要懂相关概念，不懂解释也没用

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竹溪县17174901696： 偏导数连续的意思是说某点偏x偏y都有值,且该值相等吗?若不是,怎么判断偏导数是否连续? - ？
厍帘朗铭： 偏导数连续的意思是对x和对y求完偏导数得到的两个导函数都仍然是连续的二元函数,它们的值不一定相等.若偏导数在某点连续则原函数在该点可微.(这是关于此条件的常用结论)

竹溪县17174901696： 什么叫一阶偏导数的连续性?怎么判断?在用高斯公式时,不知道怎么判断一阶偏导数的连续性,一阶偏导数的连续性是不是说对x对y对z的偏导数都必须连... - ？
厍帘朗铭：[答案] 一阶偏导数的连续性是说对x对y对z的偏导数都必须连续 它的意思按照导数连续的定义,就是在空间的每一点x的左导数=右导数,对y和z也是一样的要求 在高斯公式中如果一阶微分不连续的话P Q R的积分就不能写成面积分的形式,因为可能存在无...

竹溪县17174901696： 多元函数的偏导数如何确定其连续在某点与否(不要使用可微推导)这个我没说清楚,试问如何确定其在某个区域内连续与否 - ？
厍帘朗铭：[答案] 偏导数存在与函数连续没有什么关系 好像有两条: 偏导数在此点的增量为零 偏导数的极限值等于函数值

竹溪县17174901696： 高数微分和偏导数的一道题,如何判断偏导数连续? 请老师解答一下D选项 - ？
厍帘朗铭： 把x,y不等于0处的偏导数求出来,看看是否逼近0即可 当y=0时,f(x,y)=0, f'x始终为0 当y不等于0时,在x=0处函数不可导,偏导不存在

竹溪县17174901696： 多元函数的偏导数如何确定其连续在某点与否(不要使用可微推导) - ？
厍帘朗铭： 偏导数存在与函数连续没有什么关系 好像有两条: 偏导数在此点的增量为零 偏导数的极限值等于函数值

竹溪县17174901696： 如何判定偏导数连续 - ？
厍帘朗铭： 上面的答案错啦,偏导数存在不能推出连续,连续也不能推出偏导数存在.

竹溪县17174901696： 高等数学 偏导数在(0,0)处是否存在,是否连续 - ？
厍帘朗铭： 因为那两个偏导数是在定义域内是连续的,所以偏导数连续

竹溪县17174901696： 判断题:函数f(x,y)在(x,y)处两个偏导数都存在,那么函数f(x,y)在(x,y)处是连续的 - ？
厍帘朗铭：[答案] 错误! f(x,y)=xy/(x^2+y^2),(x,y)不=(0,0) f(x,y)=0,(x,y)=(0,0) 该函数根据偏导数定义可以判断在(0,0)点可偏导,且关于x,y的偏导数都为0.但是f(x,y)在(0,0)点不连续.

竹溪县17174901696： 偏导数存在和偏导数连续的区别一点的偏导数左右极限相等则偏导数存在,怎么证明偏导数连续呢?是在那点的偏导数等于左右极限吗? - ？
厍帘朗铭：[答案] 这其实是连续的一个证明问题 左右极限相等,则偏导存在.但此时的极限不一定等于该点的导数值,明白吗? 证明偏导数连续,则是要证明左右极限相等并且要等于该点的偏导数值. 也就是说:在那点的偏导数等于左右极限这句话是对的.

竹溪县17174901696： 证明偏导数在某点连续的问题若证明偏导数在原点是否连续的问题,是用f'x(0.0)和f'x(x,y)x,y趋于0还是f'x(x,0)x趋于0比较 - ？
厍帘朗铭：[答案] 证明偏导数 f'x(x,y) 在原点是否连续,要用 lim(x→0,y→0)f'x(x,y) = f'x(0.0) 是否成立来判别.