求：海伦公式的变形公式（全）

海伦公式求高的公式~

　　1、先来看海伦公式：三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]， 其中P=(A+B+C)/2
A、B、C表示三角形的边长，√表示根号，即紧跟后面的括号内的全部数开根号。
2、再来看海伦公式的变形（以下所有式中的^表示平方）
S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)] =（1/4）√[(A+B+C）（A+B-C）（A+C-B）（B+C-A）]
变形1 =（1/4）√{[（A+B）^-C^][C^-（A-B）^]}
变形2 =（1/4）√{（A^+B^-C^+2AB）[-（A^+B^-C^-2AB）]}
变形3 =（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^]
变形4
3、画一个三角形（在这儿不好画，你自己画一个吧），三边分别为 A、B、C。A为底边。过顶点作与A垂直的高H，把A分成两部分X、Y 根据勾股定理可得以下三式
X=A-Y 第1式
H^=B^-Y^ 第2式
H^=C^-X^ 第3式
根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^ 第4式
把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得 Y=（A^-C^+B^）/2A 第5式
根据第2式可得 H=√（B^-Y^） =√[B^-（A^-C^+B^）/4A^] ={√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A
三角形面积S=（1/2）*AH =（1/2）*A*{√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A =（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^ ] 这个等式就是海伦公式的变形4，故得证。

任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c),p=a+b+c/2,a.b.c,为三角形三边。
证明：
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:

x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明：由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明：如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④，得： r 2 · =
两边同乘以 ，得：
r 2 · =
两边开方，得： r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得： r3 = ×xyz

海伦公式的几种另证及其推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:

x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明：由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明：如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④，得： r 2 · =
两边同乘以 ，得：
r 2 · =
两边开方，得： r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得： r3 = ×xyz
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：

s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。

S= 根号下p(p-a)(p-b)(p-c)
= 四分之一 根号下（a+b+c）（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a） ①
= 四分之一 根号下【（a+b）^2-c^2】【c^2-(a-b)^2】 ②
= 四分之一 根号下 (a^2+b^2-c^2+2ab)【-（a^2+b^2-c^2-2ab）】 ③
= 四分之一 根号下4a^2 b^2-(a^2+b^2-c^2)^2 ④
= 四分之一 根号下2 a^2 b^2+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-a^4-b^4-c^4 ⑤
由于没法用数学公式编辑器 平方用^2表示 四次方用^4

三角形的面积S为

S = fracab sin(C)

= fracsqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}

= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

最后的等号部分可用因式分解予以导出。

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和平县17797246834： 求:海伦公式的变形公式(全) - ？
僪颜达菲： S= 根号下p(p-a)(p-b)(p-c) = 四分之一 根号下(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) ① = 四分之一 根号下【(a+b)^2-c^2】【c^2-(a-b)^2】 ② = 四分之一 根号下 (a^2+b^2-c^2+2ab)【-(a^2+b^2-c^2-2ab)】 ③ = 四分之一 根号下4a^2 b^2-(a^2+b^2-c^2)^2 ④ = 四分之一 根号下2 a^2 b^2+2 a^2 c^2+2 b^2 c^2-a^4-b^4-c^4 ⑤ 由于没法用数学公式编辑器 平方用^2表示 四次方用^4

和平县17797246834： 海伦公式的公式 - ？
僪颜达菲： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2我喜欢叫他海龙公式- -

和平县17797246834： 海伦公式是什么? - ？
僪颜达菲： 1、先来看海伦公式:三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)], 其中P=(A+B+C)/2 A、B、C表示三角形的边长,√表示根号,即紧跟后面的括号内的全部数开根号. 2、再来看海伦公式的变形(以下所有式中的^表示平方) S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)] ...

和平县17797246834： 海伦公式到最后怎么化简啊?过程详细点 - ？
僪颜达菲： 希望对你有帮助海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.但根据Morris Kline在1908年出版...

和平县17797246834： 海伦公式怎么解,完整版. - ？
僪颜达菲： 海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有: 设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则 S△ABC = aha= ab*sinC = r p = ...

和平县17797246834： 海伦公式的推导过程? - ？
僪颜达菲：[答案] 证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a.b.c.则 SΔABC=√((a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形.[负号[-＂从a左则向右经过a.b.c＂.负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单.还设个什么l=(a+b=c)/2啊.多此一举!) ...

和平县17797246834： 海伦公式,是怎么用的 - ？
僪颜达菲： 用来计算三角形的面积 S=根号(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) 其中a,b,c,为边长,p=(a+b+c)/2,

和平县17797246834： 如何推导海伦公式 - ？
僪颜达菲： cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b...

和平县17797246834： 有没有一个海伦公式的题 - ？
僪颜达菲： q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 当P=1时,△ 2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得 △ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b...

和平县17797246834： 海伦定理的公式是什么 - ？
僪颜达菲： 海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表. 假设有一个三角形,...