海伦 秦九昭公式
作者&投稿：茶适 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
假设三边的长度在A1、B1、C1三个单元格，面积=SQRT((A1+B1+C1)/2*((A1+B1+C1)/2-A1)*((A1+B1+C1)/2-B1)*((A1+B1+C1)/2-C1))
或=SQRT((A1+B1+C1)*(A1+B1-C1)*(A1-B1+C1)*(B1+C1-A1))/4.
设三角形的三边分别是a、b、c, p=1/2(a+b+c)
则根据海伦——秦九昭公式：
三角形的面积=根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]
例：等边三角形的边长为10，求三角形的面积．
海伦公式：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c),p=(a+b+c)/2,a,b,c分别是三角形的三条边
a=b=c时 p=3/2 * a
S^2 = 3/2 * a * (1/2 * a )^3
= 3/16 * a^4
S= 根号下3 /4 * a^2
=25 * 根号3
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
证明（1）：
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（2）：
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
当P＝1时，△ 2＝q,
S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
海伦公式
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=p*(p-a)*(p-b)*(p-c)的结果的平方
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
把题中a，b，c带入即可。
凭汪东岳： 设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^...
海南藏族自治州13241858276： 海伦一秦九韶公式证明 - ？
凭汪东岳： 海伦公式:若ΔABC的三边长为a、b、c,则 SΔABC=√((a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形,“负号“-”从a左则向右经过a、b、c”,负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单,还设个什么l=(a+b=c)/2啊...
海南藏族自治州13241858276： 海伦 秦九昭公式 - ？
凭汪东岳： 假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2 证明(1): 与海伦在他的著作＂Metrica＂(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公...
海南藏族自治州13241858276： 海伦 -- 秦九韶公式是什么? - ？
凭汪东岳： 假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:当p=1/2(a+b+c)时,三角形面积为S△=√p(p-a)(p-b)(p-c) p为半周长
海南藏族自治州13241858276： 我国古代数学家秦九韶在《九章算术》中记述了“三斜求积术”,怎么推导出海伦公式 - ？
凭汪东岳：[答案] 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦 (Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.海伦公式与三斜求积术是完全等价的. 原理简介 我国宋代的数学家...
海南藏族自治州13241858276： 秦九昭海伦公式的推导 - ？
凭汪东岳： 根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算.如下题:已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边) 代入解得s=8√ 3
海南藏族自治州13241858276： 如果一个三角形的三边分别为a、b、c,设P=12(a+b+c),那么可以根据下面的公式(秦九韶 - 海伦公式),求这个三角形的面积S.S=P(P - a)(P - b)(P - c) 若a=6,... - ？
凭汪东岳：[答案] ∵a=6,b=8,c=12, ∴P= 1 2(a+b+c)=13, ∴S= P(P-a)(P-b)(P-c) = 13*7*5*1 = 455.
海南藏族自治州13241858276： 把海伦公式转化为三斜求积术(秦九韶的),不要出现初一没学过的知识. - ？
凭汪东岳：[答案] 从我国南宋时期数学家秦九韶的公式推导到海伦公式,推导过程我就不说了,网上有很多你自己看一下这是地址.三斜求积术 上面那个是从三斜推导到海伦,你要是从海伦推到三斜从下往上看逆推就可以了. 发表点我的个人看法. 秦九韶公式实际和海...
海南藏族自治州13241858276： 秦九勺海伦公式 - ？
凭汪东岳： 简单S^2=p(p-a)(p-b)(p-c) a,b,c 为三角形三边边长 p=(a+b+c)/2
