三角形的重心，把中线分为1:2两个部分，这个怎么证明

三角形的重心，把中线分为1:2两个部分，这个怎么证明~

可以用等积法进行证明。

证明：
如图1所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。
∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S
∴aa'+bb'+cc'=2S
由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(2S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。

此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。
∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。
同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。
∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1
证明：用归一法
不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b
因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)
同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b
在三角形ABO中，AO=BO-BA
所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b
因为向量a和b线性无关，所以
-y=x/2-1
y/2=x/2
解得x=y=2/3
所以A0：AD=BO：BE=2：3
故AO：OD=BO：OE=2:1
设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1
所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’
因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1
证毕！

证明：

连结EF交AD于M,则M为AD中点

EF为△ABC的中位线,

所以EF‖BC且EF:BC=1:2

由平行线分线段成比例定理有：

GM:MD=EF:BC=1:2

设GM=x,那么GD=2x

DM=GM+GD=3x

AD=2GM=6x

AG=AD-GD=4x

所以GD:AD=2x:4x=1:2

扩展资料

重心的几条性质 ：

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。

7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3

8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。

9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

参考资料来源：百度百科-重心

三角形的重心是三条中线的交点，重心把三条中线都分成1:2两个部分，只需证明一条中线被分成这个比例即可，其它两条可同理可证说明。

先找到一条中线，再找到另一条与之相交的中线，过这条相交的中线的端点（对应边中点）作平行线，得到三角形的中位线，从而得到几对相似三角形，对应边的比例为1：2，于是中位线分中线成1：1两部分，而重心与中位线的距离与重心到被分割中线的端点（对应边中点）的距离的比为1：2，则中点到重心的距离与重心到顶点的距离的比为2：[1+（2+1）]=2：4=1：2.。

如图所示：

可以用等积法。
重心是三中线交点
一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，等低等高。同时重心下面两个小三角形也面积相等。
可证明被中线分开的六个小三角形都面积相等。
随便找一条中线。左边三个三角形面积相等，以中线被分开的两段为低的两个三角形面积比是1：2，高相同，所以中线被分为1:2两个部分

设三角形ABC的AB边的中线为CD，BC边中线为AE，CD与AE交于O，则DE平行AC，且DE=1/2AC，即△DOE相似于△AOC，相似比为1：2，所以AO：OE=2：1

---

合江县17760789266： 三角形重心性质?重心与中线的关系,和重心把中线分成1:2的推导 - ？
矣侮血必：[答案] 重心是三角形三边中线的交点. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.证明:三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G.过E作EH平行BF.AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF 推出HF=1/2CF推出EG=1/2CG

合江县17760789266： 三角形的重心是如何把三角形的中线分成 - ？
矣侮血必：[答案] 三角形的重心把三角形的中线分成两部分,重心到顶点的距离等于这顶点到对边中线长的三分之二,重心到对边中点的距离等于这边上中线长的三分之一.

合江县17760789266： 怎样证明三角形的重心分中线为1:2的两条线段 ？
矣侮血必： 已知△ABC,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点.那么AD、BE、CF三线共点,即重心G.现在证明DG:AG=1:2证明:连结EF交AD于M,则M为AD中点EF为△ABC的中位线,所以EF‖BC且EF:BC=1:2由平行线分线段成比例定理有:GM:MD=EF:BC=1:2设GM=x,那么GD=2xDM=GM GD=3xAD=2GM=6xAG=AD-GD=4x所以GD:AD=2x:4x=1:2

合江县17760789266： 在三角形中,一条中线上有一点,把中线分成1:2,可以说这个点是重心吗 - ？
矣侮血必：[答案] 以下两种方法都可以: 1、两条中线相交,连接中位线,取中线被分成的两段中长的那段的中点,四中点连成四边形,证它是平行四边形,用对角线互相平分就行; 2、两条中线相交,连接中位线,中位线等于第三边的一半;证下面两三角形相似,...

合江县17760789266： 为什么三角形的重心能把中线分成2:请证明, - ？
矣侮血必：[答案] 设这个三角形为ABC,D.E.F分别为AB BC AC交点,CD AE BF交于O,则O为重心.,连DE,则有DE为其中位线,则有DE//AC,且DE:AC=1:2,因为DE//AC,由其分线段成比例得AC:DE=OA:OE=OC:OD=2:1,同理其他也得得证.

合江县17760789266： 如何证明一个三角形中线被重心以二比一的比例分成两部分?如题.对于任意一个三角形,它的重心将其中一条中线平分成两部分后,长的那条线是短的那条线... - ？
矣侮血必：[答案] 设这个三角形为ABC,D.E.F分别为AB BC AC交点,CD AE BF交于O,则O为重心.,连DE,则有DE为其中位线,则有DE//AC,且DE:AC=1:2, 因为DE//AC,由其分线段成比例得AC:DE=OA:OE=OC:OD=2:1, 同理其他也得得证.

合江县17760789266： 求证:三角形的重心将中线分成2:1. - ？
矣侮血必：[答案] 证明:过点F作FH∥BC交AD于H, ∵BF是△ABC的中线, ∴点F是AC的中点, ∴FH是△ADC的中位线, ∴DC=2FH,AH=DH, ∵AD是△ABC的中线, ∴BD=DC, ∴BD=2FH, ∴DG=2CH,又AH=HD, ∴AG=2GD, 同理,CG=2GE,BG=2GF.

合江县17760789266： 三角形的重心定理急求! - ？
矣侮血必： 貌似是:三角形三条中线的交点是其中心重心把三角形的中线分为2;1(注意,是一共分三分,上面占2份,下面占1分)

合江县17760789266： 关于三角形 、？
矣侮血必： 1.三角形各边中线的交点叫做三角形的重心.它把每条中线都分成1:2的两条线段. 2.三角形各边垂直平分线的交点叫做三角形的外心.它到三角形各个顶点的距离都相等. 3.三角形各角的平分线的交点叫做三角形的内心.它到各边的距离都相等.