为什么三角形的三条中线会交于一点

怎么证明三角形的三条中线交于一点~

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，过点O作MN‖BC，交AB于点M，交AC于点N；
过点O作PQ‖AB，交BC于点P，交AC于点Q。
∵MN‖BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO/BD=AO/AD，NO/CD=AO/AD
∴MO/BD=NO/CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ‖AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO/BF=CO/CF，QO/AF=CO/CF
∴PO/BF=QO/AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP‖AC（内错角相等，两条直线平行）
∴△BMR∽△BAE，△BPR∽△BCE
∴MR/AE=BR/BE，PR/CE=BR/BE
∴MR/AE=PR/CE
∵MN‖BC，PQ‖AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）
∴AE=CE
命题得证。

任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。由定义可知，三角形的中线是一条线段。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

证明即可得出结论。

设在△ABC中，BD、CE分别是AC和AB边的中线，BD和CE交于O，连接AO并延长交BC于F，求证AF是BC边的中线。

证明：

作BG//EC，交AF的延长线于G，连接CG。

∵BG//EC，

∴AE/BE=AO/OG，

∵CE是AB边的中线，即AE=BE，

∴AO=OG，

∵BD是AC边的中线，

∴OD是△AGC的中位线，

∴OD//GC，

∴四边形OBGC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），

∴BF=CF（平行四边形对角线互相平分），

∴AF是BC边的中线。

扩展资料：

三形中任意两条中线的和大于第三条中线，

证明：

由已知可得CD，BF, AE为△ABC的中线，P为△ABC的重心，

∴AP=2/3 AE，CP=2/3 CD，PF=1/2 BP=1/3 BF（重心的性质），延长PF到M，使PF=FM，于是四边形APCM为平行四边形，

∴AM=CP，△APM中：有AP+AM>PM 

∴AP+CP>2PF，AP+CP>BP，2/3 AE+2/3 CD>2/3 BF，即AE+CD>BF 

同理，AE+BF>CD，BF+CD>AE，　

所以得证：三角形中任意两条中线的和大于第三条中线。

参考资料：百度百科——三角形中线

在一个三角形中，如果是有三条直线交于一点，其中两条是中线，能否直接，证明第三条也是中线，在中考题目解答中，能否直接写，因为两条直线是中线，且三条直线交于点所以另外那一条就是中线？可以三角形中线性质有：1、三角形的三条中线都在三角形内。2、三角形的三条中线长：ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a²mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2；mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2。(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对边的中线长）3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。6.三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段。证明：已知，在△ABC中，BD为AC中线，CE为AB中线，BD、CE交于点O，求证BC的中线AF过点O。延长AO交BC于F'作BG平行EC交AO延长线于G则因E为AB中点,所以O为AG中点连接GC,则在三角形AGC中,OD是中位线BD平行GC所以BOCG为平行四边形F'平分BCF'与F重合BC的中线AF过点O。

把三角形（ABC）三边当作三条线段，
先画出两边(AB,BC)的中线，焦点记作O点
由中线定理得,OA=OB,OB=OC
so,OA=OB=OC
得：O点到A,C距离相等，
有：一点导线段两端点距离相同，则该点在线段中线上~
所以三角形的三条中线会交于一点

已知,在△ABC中,BD为AC中线,CE为AB中线,BD、CE交于点O,求证BC的中线AF过点O.延长AO交BC于F'作BG平行EC交AO延长线于G则因E为AB中点,所以O为AG中点连接GC,则在三角形AGC中,OD是中位线BD平行GC所以BOCG为平行四边形F'平分BCF'与F重合BC的中线AF过点O

这个点是重心……

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广水市13988441716： 三角形的三条中线为什么会交于一点 - ？
池元尤尼： 因为三条中线在三角形内部.....肯定会交于一点

广水市13988441716： 三角形的三条中线为什么交在同一点上 - ？
池元尤尼： 已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E.求证:AE=CE 证明:如图,过点O作MN‖BC,交AB于点M,交AC于点N;过点O作PQ‖AB,交BC于点P,交AC于点Q.∵MN‖BC ∴△AMO∽△ABD,△ANO∽...

广水市13988441716： 为什么三角形三中线交于一点 - ？
池元尤尼： 证明三角形的三条中线交于一点 (1)作一、二中线的交点G,二、三中线的交点G'与G'重合即可; (2)由中位线定理、相似三角形性质、同一法证明G.看这里,很详细:http://hi.baidu.com/xxcctthi/blog/item/f83ee7111fb59ec4a6ef3f24.html

广水市13988441716： 三角形的三条中线为什么相交于一点? - ？
池元尤尼： 三角形的三条中线相交于一点,这点叫做三角形的的重心.三角形的重心到各边中点的距离等于这边上中线的三分之一. 三角形的三条高相交于一点,这点叫做三角形的垂心.

广水市13988441716： 为什么三角形的三条中线相交与一点? - ？
池元尤尼：[答案] 这是科学家计算证明的已知:△ABC中,AX,BY,CZ分别是BC,AC,AB边上的中线,求证:AX,BY,CZ相交于一点G,并且AG∶GX=2∶1X,Y分别是BC,AC的中点,所以XY=DE,所以,四边形DEXY为平行四边形,所以GD=DA=GX,GY=GE=EB,所以...

广水市13988441716： 三角形的三条中线为什么必定相交于一点?有没有谁可以用初中所学知识解释的?如果说因为三条中线不可能平行,必然在平面内交于某一点,那为什么一定... - ？
池元尤尼：[答案] 简单! 把三角形(ABC)三边当作三条线段, 先画出两边(AB,BC)的中线,焦点记作O点 由中线定理得,OA=OB,OB=OC so,OA=OB=OC 得:O点到A,C距离相等, 有:一点导线段两端点距离相同,则该点在线段中线上~ 所以.

广水市13988441716： 为什么三角形三条中线是交于一点的?？
池元尤尼： 证明:设BC、CA、AB的中点分别是D、E、F, 设CF和BE交于P,连接EF,则EF平行BC,且EF=BC/2, 所以CP=2PF. 设AD和CF交于Q,连接DF,则DF平行AC,且DF=AC/2, 所以CQ=2QF. 这就说明了P和Q是同一个点,也就证明了三角形的三条中线交于一点. 抱歉,一个字母错了,BC误打为BA了.

广水市13988441716： 三角形的三条中线的交点为什么是重合的 怎么证明 - ？
池元尤尼：[答案] 1、证明三角形的三条 交于一点: (1)由其中两个内角的交点向三条边作 ; (2)在根据 的性质定理及 就可获证. 2、 证明三角形的三条边的 交于一点: (1)作两条边的 的交点K; (2)连结K及个顶点; (3)在根据线段 的性质定理及 就可获证. 3、...

广水市13988441716： 为什么三角形三条中线、角平分线及高分别都交于一点? - ？
池元尤尼：[答案] 这都是定理,是可以证明的. 对于中线,可设交点不在同一点,设BE交AD于H,同理可得DH/AH=EH/BH=1/2,即H与G重合,中线交于一点. 同理可证其他两个定理.

广水市13988441716： 为什么三角形的高、中线、角平分线、垂直平分线定交于一点,求证,不要空虚理论 - ？
池元尤尼： 三角形三条高交于一点,该点叫做垂心.(作图,用余角结论很容易验证) 三角形三条角平分线交于一点,该点叫做内心.三角形三条垂直平分线交于一点,该点叫做外心.三角形三条中线交于一点,该点叫做重心.对于正三角形,以上四心(垂心、内心、外心、重心)重合,称为“中心”