已知：如图，△ABC中，AB=AC=6， cosB=13，⊙O的半径为OB，圆心在AB上，且分别与边AB、BC相交于D、E两点，

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC, 求证：AO垂直BC~

证明：
∵AB=AC，OB=OC，AO = AO
∴三角形ABO 全等于 三角形ACO（边边边）
所以 角BAO = 角CAO
延长 AO 交BC于D
因为 AB = AC,AD = AD
所以 三角形ABD 全等于 三角形ACD（边角边）
所以 角ADB =角ADC
它们的和是180度，所以每个角是90度
所以 AO垂直BC

解：1：DE与⊙O相切
理由：因为AB=AC，OB=OD，共用角B，所以三角形ABC与三角形OBD相似，则OD‖AC
又因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，DE是⊙O的切线。
2：连接圆心至AC边上的切点E，则OE⊥AC，sinA=OE/OA=3/5
OB=OE=3OA/5
5OB=3OA
8OB=3OA+3OB=3AB=15cm
OB=15/8cm
OB就是圆的半径

解：（1）直线EF与⊙O相切

理由：如图①，连接OE，则OE=OB，∠OBE=∠OEB．

∵AB=AC，

∴∠OBE=∠C．

∴∠OEB=∠C．

∴OE∥AC．

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OE．

∵点E在⊙O上，

∴EF是⊙O的切线．

（2）①如图②，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，那么BH= 1/2BC，

∵AB=6， cosB=13，

∴BH=2，BC=4．

∵OE∥AC，

∴△BOE∽△BAC．

∴ BEBC=OEAC．

即 BE4=x6．

∴BE= 2x3．

∴ EC=4-23x．

在Rt△ECF中， cosC=cosB=13，

∴ CF=EC•cosC=(4-23x)•13．

∴所求函数的关系式为 y=43-29x．

②如图③，连接OE，DE，OF，由EF、DF与⊙O相切，

∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．

∴OF垂直平分DE．

∵∠DEB=90°，

∴BC⊥DE．

∴OF∥BC．

∴四边形OBCF是等腰梯形．

∴OB=CF，得 43-29x=x．

解得： x=12/11．

即OB= 12/11．

不好意思 有些分号没给你打出来

注：“/”是分数线

Ⅰ;分析：（1）要想证EF是⊙O的切线，只要连接OE，求证∠OEF=90°即可；

（2）求y关于x的函数关系式，可以证明△BOE∽△BAC及应用三角形的性质将两者结合求出；EF、DF与⊙O相切，易证四边形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的长．

Ⅱ:解答：解：（1）直线EF与⊙O相切（1分）

理由：如图①，连接OE，则OE=OB，∠OBE=∠OEB．

∵AB=AC，

∴∠OBE=∠C．

∴∠OEB=∠C．

∴OE∥AC．（2分）

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OE．

∵点E在⊙O上，

∴EF是⊙O的切线．（4分）

（2）①如图②，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，那么BH= 1/2BC，

∵AB=6， cosB=1/3，

∴BH=2，BC=4．（5分）

∵OE∥AC，

∴△BOE∽△BAC．

∴ BE/BC=OE/AC．

即 BE/4=x/6．

∴BE= 2x/3．

∴ EC=4-2/3x．（7分）

在Rt△ECF中， cosC=cosB=1/3，

∴ CF=EC•cosC=(4-2/3x)•1/3．

∴所求函数的关系式为 y=4/3-2/9x．（8分）

②如图③，连接OE，DE，OF，由EF、DF与⊙O相切，

∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．

∴OF垂直平分DE．（10分）

∵∠DEB=90°，

∴BC⊥DE．

∴OF∥BC．

∴四边形OBCF是等腰梯形．

∴OB=CF，得 4/3-2/9x=x．

解得： x=12/11．

即OB= 12/11．（12分）

Ⅲ;点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形，等腰梯形的性质解决函数问题．

考点：切线的判定；待定系数法求一次函数解析式；梯形；相似三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题；数形结合．

分析：（1）要想证EF是⊙O的切线，只要连接OE，求证∠OEF=90°即可；

（2）求y关于x的函数关系式，可以证明△BOE∽△BAC及应用三角形的性质将两者结合求出；EF、DF与⊙O相切，易证四边形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的长．

解答：解：（1）直线EF与⊙O相切（1分）

理由：如图①，连接OE，则OE=OB，∠OBE=∠OEB．

∵AB=AC，

∴∠OBE=∠C．

∴∠OEB=∠C．

∴OE∥AC．（2分）

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OE．

∵点E在⊙O上，

∴EF是⊙O的切线．（4分）

（2）①如图②，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，那么BH= ，

∵AB=6， ，

∴BH=2，BC=4．（5分）

∵OE∥AC，

∴△BOE∽△BAC．

∴ ．

即 ．

∴BE= ．

∴ ．（7分）

在Rt△ECF中， ，

∴ ．

∴所求函数的关系式为 ．（8分）

②如图③，连接OE，DE，OF，由EF、DF与⊙O相切，

∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．

∴OF垂直平分DE．（10分）

∵∠DEB=90°，

∴BC⊥DE．

∴OF∥BC．

∴四边形OBCF是等腰梯形．

∴OB=CF，得 三分之四减九分之二X=X．

解得：X=十一分之十二 ．

即OB=十一分之十二 ．（12分）

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形，等腰梯形的性质解决函数问题．

（1）要想证EF是⊙O的切线，只要连接OE，求证∠OEF=90°即可；
（2）求y关于x的函数关系式，可以证明△BOE∽△BAC及应用三角形的性质将两者结合求出；EF、DF与⊙O相切，易证四边形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的长．
1)相切
连接OE，则OB=OE；∴∠B=∠OEB；
又∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠OEB；
∴OE∥AC；又EF⊥AC，∴又EF⊥OE；得证相切；
2）过A作AG⊥BC交BC于G；则BG=AB*cosB=6*1/3=2;∴BC=2*BG=4；
∵OE∥AC；∴BE/BC=OE/AC 即BE=OE*BC/AC=x*4/6=(2/3)*x;
∴EC=BC-BE=4-(2/3)*x;
∵∠AEC=∠EFC(都是直角)；并且∠C=∠C
∴△EFC∽△AGC
∴EC/AC=CF/CG
∴CF=EC*CG/AC=[4-(2/3)*x]*2/6=4/3-(2/9)*x
即 y=4/3-(2/9)*x
3）连接DF、OF；则OD⊥DF
∵OD=OE；OF=OF；∠ODF=∠OEF(都是直角)
∴△ODF≌△OEF；∴∠DOF=∠EOF
∴∠DOE=2∠DOF
又∵∠DOE=∠OBE+∠OEB=2∠OBE
∴∠DOF=∠OBE
∴OF∥BC
又∴∠AFO=∠ACB=∠DOF=∠OBE
∴AO=AF;∴OB=CF
∴x=y=4/3-(2/9)*x
解得 x=12/11.
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形，等腰梯形的性质解决函数问题．

（1）EF是⊙O的切线
连接OE
因为OB、OE为⊙O的半径
所以OB=OE
所以∠OBE=∠OEB
又因为AB=AC
所以三角形ABC为等腰三角形
所以∠ABC=∠ACB
所以∠OEB=∠ACB
所以OE//AC
因为EF⊥AC
所以EF⊥OE
所以EF是⊙O的切线
2）①AB=AC=6
cosB=1/3
b²=c²+a²-2accosB a=BC=4
又因为OE//AC
BE=2/3x EC=4-2/3x
因为EF⊥AC
故：CF=CE cosC=（4-2/3x ）*1/3=4/3-2/9x
y=-2/9x+4/3
②△OBE与△ABC相似，BE=2/3x
AD=6-2x AF=6-y
对cosA=（b²+c²-a²）/2bc=(36+36-16)/2*6*6=7/9
又因为DF⊥AD
cosA=AD/AF=(6-2x)/(6-y)=7/9
y=-2/9x+4/3
故x=12/11=OB

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巴马瑶族自治县19562003585： 已知如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN分别于直线AC或AB交于点E,D,∠AED=5o°,求∠EBC的大小 - ？
西褚爱西： ∠A=90°-50°=40° ∠ABC=∠C=90°-20°=70° ED垂直平分线AB △EAB为等腰三角形 ∠EBD=∠A=40° ∠EBC=∠ABC-∠EBD=70°-40°=30°

巴马瑶族自治县19562003585： 已知:如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,DE是⊙O的切线.求证:DE⊥AC. - ？
西褚爱西：[答案] 证明:如图,连接OD. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°,即AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴AD是∠BAC的平分线,即∠1=∠2. ∵OA=OD, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∴OD∥AC. ∵DE是⊙O的切线, ∴OD⊥DE, ∴DE⊥AC.

巴马瑶族自治县19562003585： 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DE垂直平分线AB交BC于点D,垂足为E,且DE=2.求AC的长 - ？
西褚爱西： ∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=1 2 (180°-∠BAC)=1 2 (180°-120°)=30°,∵DE是AB的垂直平分线,∴DE⊥AB,AB=2BE,在Rt△BDE中,BD=2DE=2*2=4,BE= BD2?DE2 = 42?22 =2 3 ,∴AB=2BE=2*2 3 =4 3 ,AC=AB=4 3 .

巴马瑶族自治县19562003585： 已知,如图,在△ABC中AB=AC,以AB为直径的圆交BC于点D,交AC于点E,求证:BD=DE. - ？
西褚爱西：[答案] 证明:连接AD. ∵AB是直径 ∴∠ADB=90° ∴AD⊥BC ∴∠BAD=∠CAD ∴ BD= DE.

巴马瑶族自治县19562003585： 已知,如图,在三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点作DE垂直于AC于点E.求证,DE为圆O的切线 - ？
西褚爱西：[答案] 证明:连接OD,AD. AB为直径,则∠ADB=90°,AD垂直BC. 又AB=AC,则BD=DC;BO=OA.故OD为三角形ABC的中位线. ∴OD∥AC;又AC垂直DE. 所以,OD垂直DE,得DE为圆O的切线.

巴马瑶族自治县19562003585： 如图,在三角形ABC中,AB=AC,点D E F分别在AB BC AC边上,且BE=CF BD=CE ,当∠A=40°时求∠DEF的度数 - ？
西褚爱西：[答案] ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵BE=CF BD=CE ∴△BDE≌△CEF ∴∠BDE=∠CEF,∠BED=∠CFE ∵∠A=40° ∴∠B+∠C=180°-40°=140° ∵∠B+∠BDE+∠BED=180° ∠C+∠CEF+∠CFE=180° ∴(∠B+∠C)+(∠BDE+∠BED+∠CEF+∠CFE)=360° ∴...

巴马瑶族自治县19562003585： 已知如图在三角形ABC中,AB等于AC,AD是角平分线,BE垂直AB - ？
西褚爱西：[答案] 首先证明三角形全等或相似,就可以得出他们对应的角相等 1)三角形ABC是等腰三角形 AD垂直于BC 所以AD是角CAB的角平分线(三线合一) 所以角CAD=角BAD 有因为AC=AB AE=AE 所以三角形AEC和三角形AEB全等 (边角边) 所...

巴马瑶族自治县19562003585： 如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△AEC≌△ADB;(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四... - ？
西褚爱西：[答案] (1)由旋转的性质得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB,在△AEC和△ADB中,AE=AD∠CAE=∠DABAC=AB,∴△AEC≌△ADB(SAS);(2)∵四边形ADFC是菱...

巴马瑶族自治县19562003585： 如图,已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点E,垂足是D,CE的垂直平分线恰好经过点B,垂足是F,则∠A的度数是——这回可以帮帮我不... - ？
西褚爱西：[答案] 连接BE,所以BE=BC=AE 所以角C=角CBE=角A+角ABE 又因为AE=BE,所以角A=角ABE AB=AC,所以角C=角ABC 因为角A+2角C=180度 角C=2角A 所以5角A=180度 所以角A=36度

巴马瑶族自治县19562003585： 如图在三角形角ABC中,AB=AC,若将三角形ABC - ？
西褚爱西：[答案] 已知:如图,在三角形ABC中,AB=AC.角BAC=90°,D为BC上一点,D为BC上一点,EC垂直于BC,EC=BD,DF=FE,则AF与DE有怎样的位置关系?请加以证明. 题目是这个吗?