定积分的几何应用求摆线绕y轴旋转的体积，积分上下限怎么找的？

求旋转体的体积，为什么同一条摆线绕y轴的积分上下限会不同~

没有明白楼主的题意，能将具体的题目传上来吗？
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1、旋转体的积分方法，一般是两种：
第一种方法是圆盘法，disk method；
第二种方法是壳层法，shell method。
一般而言，它们在积分时，上下限确实是不同的。
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2、期待着楼主的补充与追问，以便能进一步给予详细、完整的解答。

因为要保证，积分出来的体积是正数，积分有正有负，可是体积只能是正的。。所以积分区间对调是为了调整正负。。。

将摆线OBA分成OB段和BA段两段；

用BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，减掉 OA段绕y轴旋转得到的旋转体的体积。

O点对应的参数t=0，B点对应的参数t=π，A点对应的参数t=2π。

BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从A点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=2π到参数t=π。

OB段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从O点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=0到参数t=π。

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

将摆线OBA分成OB段和BA段两段；
用BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，减掉 OA段绕y轴旋转得到的旋转体的体积。
============（这一步能看懂吗？）
O点对应的参数t=0，B点对应的参数t=π，A点对应的参数t=2π
============（这一步能看懂吗？）
BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从A点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=2π到参数t=π
============（这一步能看懂吗？）
OB段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从O点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=0到参数t=π
============（这一步能看懂吗？）

这是旋转的，旋转360度，也就是2pai（圆周率），从零度开始旋转，然后把直角坐标系换成极坐标系（应该能明白吧）

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彰武县17793321082： 定积分的应用里面有一个是求沿着Y轴旋转的曲线的体积老师给了两个公式一个是V=∫[a b] π*f(y)^2*dy 其中y=a,y=b;一个是V=∫[a b] 2πx*f(x)dx 其中x=a,x=b;... - ？
罗景开喉：[答案] 一个是V=∫[a b] π*f(y)^2*dy 其中y=a,y=b; 一个是V=∫[a b] 2πx*f(x)dx 其中x=a,x=b; 前者是绕y轴形成的旋转体的体积公式 后者是绕x轴形成的旋转体的侧面积公式

彰武县17793321082： 高数定积分几何应用求摆线x=a(t - sint),y=a(1 - cost)的一拱(0≤t≤2π)与y=0绕y轴(其实等价于绕y=2a转的体积)所转成图形的体积.参数方程这类我不太懂,而... - ？
罗景开喉：[答案] 摆线属于常用平面曲线,其图形可以先画出来,整个区域是一个曲边梯形,底边是区间[0,2πa],曲边是摆线,所以图形的面积是一个定积分:S=∫(0→2πa) y dx,把x=a(t-sint),y=a(1-cost)代入,相当于对定积分使用了换元...

彰武县17793321082： 求摆线x=a(t - sint),y=a(1 - cost),0≤t≤2π.与x轴所围成图形绕y轴旋转所的旋转体的体积. - ？
罗景开喉：[答案] 首先取体积微元,在x=a(t-sint)处,x变化量为dx,形成的圆环面积为: dS=2πxdx, 圆环所在柱面体积:dV=ydS=2πxydx 又dx=d[a(t-sint)]=a(1-cost)dt 将x,y参数方程代入得: dV=2π[a(t-sint)][a(1-cost)][a(1-cost)dt]=2πa3(t-sint)(1-cost)2dt ∴V= ∫2π02πa3...

彰武县17793321082： 高等数学利用定积分几何意义求旋转体体积,求摆线x=a(t - sint),y=a(1 - cost)的一拱(0≤t≤2π)与y=0绕y轴(其实等价于绕y=2a转的体积)所转成图形的体积.参... - ？
罗景开喉：[答案] 参数方程也是直接做的,没大区别. 关键还是画出图像,然后搞清楚积哪块区域 所以应该是按照右侧曲线积分算出的体积减去左侧曲线积分算出的体积

彰武县17793321082： 求旋转体的体积,为什么同一条摆线绕y轴的积分上下限会不同 - ？
罗景开喉：[答案] 没有明白楼主的题意,能将具体的题目传上来吗? . 1、旋转体的积分方法,一般是两种: 第一种方法是圆盘法,disk method; 第二种方法是壳层法,shell method. 一般而言,它们在积分时,上下限确实是不同的. . 2、期待着楼主的补充与追问,...

彰武县17793321082： 一道定积分在几何上应用的题目圆(x - 5)^2+y^2=16绕y轴旋转一周生成的旋转体的体积,围成的图形是象棋的形状还是救生圈的形状,具体的方法是怎样的啊 - ？
罗景开喉：[答案] 围成的图形是象棋的形状是圆环(救生圈形) x=5±(16-y^2)^0.5 V=π∫((5+(16-y^2))^0.5)^2-(5-(16-y^2))^0.5)^2) dy (a=-4 b=4) =π∫20(16-y^2))^0.5dy (a=-4 b=4) =20π(x(16-y^2)^0.5/2+8arcsin(y/4))+C (a=-4 b=4) =1579.137

彰武县17793321082： 定积分题目,求旋转体的体积y=x² - 2x,y=0,x=1,x=3;求曲线围成的图形绕y轴旋转而形成的旋转体体积 - ？
罗景开喉：[答案] =∫[1,3] πx^2ydx =∫[1,3] πx^2*(x^2-x)dx =π(x^5/5-x^4/4)[1,3] 算一下就可以了

彰武县17793321082： 定积分的应用,旋转体积求由由y=x^3,x=2,y=0所围成的图形绕y轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积个人解法 ∏∫(0→8) (2 - y^1/3 )^2 dy 然后算出来是16/5 ... - ？
罗景开喉：[答案] 平方用错了!用元素法近似的时候,应该是近似为两个圆柱体的体积的差,两个圆柱体的半径分别是2,y^(1/3),高是dy,所以dV=π[2^2-(y^(1/3))^2]dy=π[4-y^(2/3))]dy用x作积分变量时,x∈[0,2],直接套用公式(如果你使用...

彰武县17793321082： 一道定积分的题目求曲线y=xsinx,x在【π,2π】与x轴围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积答案是v=∫(π→2π)2πx|y|dx,我想知道这个公式是怎么来的, - ？
罗景开喉：[答案] 微元法: 在x处取dx,先计算底为dx,高为|y|的长条绕y轴旋转所得旋转体体积: 这是一个空心圆柱,剪开后近似为长方体:宽|y|,厚dx,长2πx(x就是半径) 故体积元素dV=2πx|y|dx