定积分计算旋转体例题
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
","gnid":"927890e86171bc27a","img_data":[{"flag":2,"img":[{"desc":"","height":"549","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01a453a8c9c6122d99.jpg","width":"941"}]}],"original":0,"pat":"art_src_0,otherc,fts0,sts0","powerby":"cache","pub_time":1695293494000,"pure":"","rawurl":"http://zm.news.so.com/64bd8e98e83082513305002748ec4158","redirect":0,"rptid":"ec94807e0f0a764b","rss_ext":[],"s":"t","src":"学长爱升本","tag":[{"clk":"keducation_1:高等数学","k":"高等数学","u":""},{"clk":"keducation_1:天津","k":"天津","u":""}],"title":"2024年天津专升本文化课考试高等数学新大纲（2023年9月修订）如何用定积分求旋转体体积?
每一个微元都是吸管的体积，只要对整个区域D进行积分就是旋转某个轴的旋转体体积，而且二重积分就算是y=x这样不是水平或者垂直的旋转体体积都能计算，下面是其公式。
用积分计算绕x轴的旋转体的体积
我写反了，你把顺序调整一下就可以了，就是将区域进行分割，就是割补法来做，先补全，再减去补的，刚好补全的，和补的那一部分都可以积分求
设区域d由y=根号下1-x^2与x轴围成,则D绕y=1旋转一周?
首先，我们需要找到旋转体的截面形状。将y=√(1-x^2)与y=1进行比较，可以看出在y=√(1-x^2)上方的区域将在旋转后超过y=1，而在y=√(1-x^2)下方的区域将在旋转后在y=1之内。因此，旋转体的截面形状是一个半圆。接下来，我们可以根据旋转体的截面形状，使用积分来计算旋转体的体积。由于旋...
如何用积分计算旋转体的体积?
解：见下图：这是用微元面积与旋转半径x*2π之积，用的是周长公式；考虑到图形以x轴为对称。用半圆做积分。√√√ V=4π∫(1,3)xydx=4π∫(1,3)x√[1-(x-2)^2dx =-2π∫(1,3)[(x-2)+2]√[1-(x-2)^2]d[1-(x-2)^2]=-2π(2\/3)√[1-(x-2)^2]^3](1,3)+8...
积分求旋转体体积旋转体体积
新年好！Happy Chinese New Year !1、计算旋转体积的方法，通常有两种：圆盘法，壳层法。上面的三道题，运用壳层法将会计算麻烦。用圆盘法快捷。2、具体解答如下。第一题解答如下：第二题解答如下：第三题解答如下：
一题积分旋转体积题。。。
思路：画出积分区域，然后使用以前学过的计算体积的公式计算微元体积即可。如下图所示，取微元，绕y旋转后得到一个圆筒，圆筒的上底面展开后近似为长方形：长为圆周长 2πx，宽为dx，所以面积 2πxdx。而圆筒的高为 y，所以体积 dV = 2πxdx * y = 2πx(x^2+1)dx ...
积分中关于旋转体体积计算问题
y=3 : y1 y=f(x) : y2 阴影部分 （-1->1）=圆柱体的体积 - f(x) 绕 x轴所产生的 体积 V =π∫(-1->1) [ (y1)^2 - (y2)^2 ] dx =π∫(-1->1) { 3^2 - [f(x)]^2 } dx
微积分学习笔记21:求旋转体体积的一般公式(万能公式)
旋转体体积计算的万能公式为V=∫A(x)dx，其中A(x)为旋转轴x截面的面积，积分区间为旋转体的长度范围。以圆柱为例，其面积函数为A(x)=πr²，积分区间即为圆柱的长度。三、例题 例题1：求旋转轴为y轴，底面半径为2，高为4的圆柱体体积。分析：圆柱体的面积函数为A(y)=π(2²)=...
y=2x,+y=0,x=3围成的区绕x轴旋转一周的旋转体的体积?
围成的区绕 x 轴旋转一周的旋转体是一个圆锥体，其体积为：V = 1\/3 π 6^2 *3 = 36 π 如果用积分计算，则 V = ∫ (0→3) π y^2 dx = ∫ (0→3) π (2x)^2 dx = 36 π
二重积分计算旋转体体积
二重积分计算旋转体体积如下：旋转体的体积为160π。解：对于心型线r=4(1+cosθ)，那么x=rcosθ，y=r*sinθ。根据二重积分中体积公式可知，该体积V为。V=∫∫D2πydρ（其中D为心型线围成的区域，D={(r,θ)0≤θ≤π\/2，0≤r≤r(θ)}）。∫(0,π\/2)∫(0,r(θ))2π*y*r^2...
文成县多巴回答：[答案] =∫[1,3] πx^2ydx =∫[1,3] πx^2*(x^2-x)dx =π(x^5/5-x^4/4)[1,3] 算一下就可以了
植倩19764131915问： 定积分的应用,旋转体的体积计算, - ？
文成县多巴回答：[答案] 画草图,直线y=2x-1是曲线y=x^2在(1,1)点处的切线,y=2x-1与x轴交与(1/2,0).因为旋转体的横截面是圆形,体积微元dV=πy^2dx.所以,所求体积为∫(0,1)π(x^2)^2dx-∫(1/2,1)π(2x-1)^2dx=π/30((0,1)和(1/2,1)为积分上下限)选C
植倩19764131915问： 大一高等数学求旋转体体积定积分表达式旋转体体积积分表达式:y=x^3,y=1,y轴,绕y轴旋转一周 - ？
文成县多巴回答：[答案] x=y^(1/3) y=1,x=1 y=0,x=0 V = [0,1] ∫ π x² dy = [0,1] ∫ π [y^(1/3)]² dy = [0,1] ∫ π y^(2/3) dy = 3π/5 y^(5/3) | [0,1] = 3π/5
植倩19764131915问： 定积分计算旋转体的体积由曲线 y=x^3,y=0 ,x=2 所围成的图形,分别绕x轴及 y轴旋转,计算所得两个旋转体的体积. - ？
文成县多巴回答：[答案] 如图
植倩19764131915问： 定积分求旋转体问题求由曲线y=x^3/2,直线x=4及x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积 - ？
文成县多巴回答：[答案] V=π*4²*32-2π*∫(0到4)x*x^3/2dx =307.2π
植倩19764131915问： 定积分求解旋转体体积,有一个立体,以长半轴为a=10,短半轴为b=5的椭圆为底,而垂直于长轴的截面都是等边三角形,求立体体积.正确答案(1000√3)... - ？
文成县多巴回答：[答案] (题目有点问题,应该不是旋转体吧.不过为了方便说明,还是叫他旋转体了) 设椭圆长轴为x轴,短轴为y轴.则取一小段△x,则与x轴垂直的平面所截得立体的形状应该是一个 底面为等边三角形,且边长是2y,高是△x的三棱柱. ∴△V=(1/2*2y*√3*y)...
植倩19764131915问： 由曲线xy=3和x+y=4围成的图形,绕x轴旋转一周的体积这题是定积分的运用求旋转体体积哈,越细越好, - ？
文成县多巴回答：[答案] 二者的交点为A(1, 3), B(3, 1) 围成的图形绕x轴旋转一周, 在x处的截面积为f(x) = π(4-x)² - π(3/x)² 体积为f(x)在[1, 3]内的定积分: V = ∫[π(4-x)² - π(3/x)²]dx = π∫(x² -8x +16 - 9/x²)dx = π(x³/3 -4x² + 16x + 9/x) + C 在[1, 3]内的定积分: π(3³/3 -4*3...
植倩19764131915问： 积分求旋转体体积旋转体体积第一题:绕X轴y = x^2 + 4y = −x^2 + 2x + 8x = 0x = 3第二题:绕Y轴y = 36 − x^2y = 0x = 3x = 6第三题:绕X轴y = cos 3xy = 0x ... - ？
文成县多巴回答：[答案] 新年好!Happy Chinese New Year !1、计算旋转体积的方法,通常有两种:圆盘法,壳层法.上面的三道题,运用壳层法将会计算麻烦.用圆盘法快捷.2、具体解答如下. 第一题解答如下: 第二题解答如下: 第三题解答如下:
植倩19764131915问： 定积分求旋转体体积 y=x^2与y=x^0.5相交的面积绕x轴转一周得到的体积 - ？
文成县多巴回答：[答案] y=x^2 y=x^0.5 x^2=x^0.5 x=0或x=1 [0,1]x^2
植倩19764131915问： 求曲线y=sinx在[0,π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积. - ？
文成县多巴回答：[答案] 设旋转体的体积为V, 则v= ∫π0πsin2xdx=π ∫π0 1−cos2x 2dx= π 2[π− ∫π0cos2xdx] = π2 2− π 2•2 ∫π0cosxd(2x)= π2 2−π•sin2x .π0. 故旋转体的体积为: π2 2.
