有题数列{an},前n项和Sn,则an=3Sn-9。 A同学求得an=x,记为{cn}。B同学求得an=y,记为{dn}。(x不等于y,
(Ⅰ)由8Sn=an2+4an+3 ①得8Sn?1=an?12+4an?1+3 (n≥2,n∈N) ②①-②得:8an=(an-an-1)(an+an-1)+4an-4an-1,整理得:(an-an-1-4)(an+an-1)=0(n≥2,n∈N),∵{an}为正项数列,∴an+an-1>0,则an-an-1=4(n≥2,n∈N),∴{an}为公差为4的等差数列,由8a1=a12+4a1+3,得a1=3或a1=1,当a1=3时,a2=7,a7=27,不满足a2是a1和a7的等比中项.当a1=1时,a2=5,a7=25,满足a2是a1和a7的等比中项.∴an=1+(n-1)×4=4n-3;(Ⅱ) 由an=4n-3,得bn=[log2(an+34)]=[log2n],由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知,当2m≤n<2m+1时,[log2n]=m,令S=b1+b2+b3+…b2n=[log21]+[log22]+[log23]+…[log22n]=0+1+1+2+…+3+…+4+…+n-1+…+n∴S=1×21+2×22+3×23+4×24+(n-1)×2n-1+n ①2S=1×22+2×23+3×24+4×25+(n-1)×2n+2n ②①-②得:?S=2+22+23+24+…+2n?1?(n?1)2n?n= 2(1?2n?1)1?2?(n?1)2n?n=(2?n)2n?n?2,∴S=(n-2)2n+n+2,即b1+b2+b3+…b2n=(n-2)2n+n+2.
(Ⅰ)由Sn=2an-2n+1,得Sn-1=2an-1-2n(n≥2).两式相减,得an=2an-2an-1-2n,即an-2an-1=2n(n≥2).于是an2n-an?12n?1=1,所以数列{an2n}是公差为1的等差数列.(2分)又S1=a1=2a1-22,,所以a1=4.所以an2n=2+(n-1)=n+1,故an=(n+1)?2n.(4分)(注:该问也可用归纳,猜想,数学归纳法证明的方法)(Ⅱ)因为bn=logann+12=log2n2=1n,则B3n-Bn=1n+1+1n+2+1n+3+…+13n.令f(n)=1n+1+1n+2+…+13n,则f(n+1)=1n+1+1n+2+…+13n+13n+1+13n+2+13n+3.所以f(n+1)-f(n)=13n+1+13n+2+13n+3-1n+1=13n+1+13n+2-23n+3>13n+3+13n+3-23n+3=0.即f(n+1)>f(n),所以数列{f(n)}为递增数列.(7分)所以当n≥2时,f(n)的最小值为f(2)=13+14+15+16=1920.据题意,m20<1920,即m<19.又m为整数,故m的最大值为18.(8分)(Ⅲ)证明:因为cn=(-1)n+1?1n,则当n≥2时,T2n=1-12+13-14+…+12n?1-12n=(1+12+13+14+…+12n?1+12n)-2(12+14+…+12n)=1n+1+1n+2+…+12n.(9分)下面证1n+1+1n+2+…+12n<22.先证一个不等式,当x>0时,ln(x+1)>xx+1.令g(x)=ln(x+1)-xx+1(x>0),则g′(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2>0,∴g(x)在(0,+∞)时单调递增,则g(x)>g(0)=0,即当x>0时,ln(x+1)>xx+1,令x=1n,则lnn+1n>1n+1?ln(n+1)-lnn><table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="mar
an=3Sn-9 ====>Sn-S(n-1)=3Sn-9 ====>3-S(n-1)=2Sn-6 ====> 3-S(n-1)=2(Sn-3)a1=4.5 ===>{Sn-3}是以-1/2为公比的等比数列 S1-3=1.5====>Sn=1.5*(-1/2)^(n-1)+3=Tn
或{3-Sn}是以-1/2为公比的等比数列=====>Sn=1.5*(-1/2)^(n-1)+3=Un
则[(Un-Tn)/2Tn +(Un-Tn)/2Un]/[Un/Tn/U(n-1)/T(n-1)/...../U1/T1]=0 因为Un-Tn=0
所以a=(Sn-3)/[S(n-1)-3]=-1/2
所以a^4=(-1/2)^4=0.0625
an=3Sn-9,(1)
n=1时,a1=3a1-9,a1=9/2.
n>1时,a<n-1>=3S<n-1>-9,(2)
(1)-(2),an-a<n-1>=3an,an=(-1/2)a<n-1>,
∴an=9*(-1/2)^(n-1).
x不等于y?
an=3Sn-9,a(n-1)=3S(n-1)-9,an-a(n-1)=3[Sn-S(n-1)]=3an,an/a(n-1)=-1/2,a1=3*a1-9,a1=9/2,则数列{an}为等比数列,公比q=-1/2,an=9/2*(-1/2)^(n-1)。Sn=3*[1-(-1/2)^n]
当n为偶数时,A同学求得an=x,记为{cn}。x=9/2*(-1/2)^(2n-1)=-9/2*(1/2)^(2n-1)。
当n为奇数时,B同学求得an=y,记为{dn}。y=9/2*(-1/2)^(2n-2)=9/2*(1/2)^(2n-2)。
{cn}为等比数列,公比q=1/4,前n项和为{Tn}=-3(1-1/4^n)。
{dn}为等比数列,公比q=1/4,前n项和为{Un}=6(1-1/4^n)。
[(Un-Tn)/2Tn +(Un-Tn)/2Un]/[Un/Tn/U(n-1)/T(n-1)/...../U1/T1]+{(Sn-3)/[S(n-1)-3]}
=[9/2*(-3)+9/2*6]/[1-1/2]=-3/2=a. a^4=81/16=5.0625
或[(Un-Tn)/2Tn +(Un-Tn)/2Un]/[Un/Tn/U(n-1)/T(n-1)/...../U1/T1]+{(Sn-3)/[S(n-1)-3]}
=[9/2*(-3)+9/2*6]/[-2-1/2]=3/10=a. a^4=81/10000=0.0081
或[(Un-Tn)/2Tn +(Un-Tn)/2Un]/[Un/Tn/U(n-1)/T(n-1)/...../U1/T1]+{(Sn-3)/[S(n-1)-3]}
=[9/2*(-3)+9/2*6]/[-1/2-1/2]=3/4=a. a^4=81/256=0.31640625
an=3Sn-9;
a(n+1)=3S(n+1) - 9;
a(n+1)-an = 3an;
a(n+1)=4an;
a1 = 4.5
an = 4.5*4^(n-1);
cn和bn都是an的变相,故Tn=Un
a = (Sn-3)/[S(n-1)-3]
={4.5(4^n-1)/3 - 3}/{4.5[4^(n-1)-1]/3 - 3}
=(4^n-3)/[4^(n-1)-3]
6.563
无解@@@@@@@@@
设数列{an} 的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,求an通项公式
+½n≥2时,an=Sn-S(n-1)=½·3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+½-(½·3ⁿ-2ⁿ+½)=3ⁿ-2ⁿn=1时,a1=3¹-2¹=3-2=1,同样满足表达式。数列{an}的通项公式为an=3ⁿ-2ⁿ
已知等比数列{an}是递增数列,其前三项之积为64,前三项之和为14;求...
所以a1*a2*a3=a2^3=64 所以a2=4 又因为a2=a1*q=4 所以q=4\/a1。又a3=a1*q^2 所以a1+a2+a3=a1+a1*q+a1*q^2=a1+4+16\/a1=14 所以a1^2-10a1+16=0 所以a1=2或a1=8 由于等比数列{an}是递增数列,所以取a1=2 所以公比q=4\/2=2 所以a3=8 所以等比数列an前三项为2、4、8 ...
求大神用数学归纳法解这道数列题 设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且...
2x+y-2=0 y=2-2x 点(an+1,Sn)在线上 即 : Sn=2-2a(n+1) (1)S(n-1)=2-2an (2)(1)-(2): Sn-S(n-1)=2an-2a(n+1)an=2an-2a(n+1)得: an=2a(n+1)a1=1 所以: 数列中首项为1,公比是1\/2的等比数列 通项为 an=(1\/2)^(n-1)...
高中数学数列知识点
4、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0) 5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式); 当q≠1时,Sn= Sn= 高中数学数列知识点总结二:高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数...
设数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n都有Sn=2an+n-3成立
在所给式子中,令n=1,有S1=2a1+1-3,因为S1=a1,所有可以得到{an}的首项是2。那么{an-1}就是首项是2,公比是2的等比数列。根据等比数列通项公式可以求得:an-1=(a1 -1)*q^(n-1)=(2-1)*2^(n-1)=2^(n-1),所以an=2^(n-1)+1 利用差比数列错位相减法即可求得Tn ...
设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn+2an=2(n为正整数),(1)求证:数列{1\/Tn}...
约定:[ ]内是下标 原题是:设数列{a[n]}的前n项积为T[n],且T[n]+2a[n]=2(n为正整数)(1)求证:数列{1\/T[n]}为等差数列;(2)设b[n]=(1-a[n])(1-a[n-1]),求数列{b[n]}的前n项和S[n].(1)n=1:T[1]+2a[1]=a[1]+2a[1]=2 得a[1]=2\/3,1\/T[1]=3...
已知数列{an}的前n项和Sn=3^n-2,求数列{an}的通项公式.为什么要分情 ...
因为根据S(n) - S(n-1)求a(n)的公式的时候,要保证S(n-1)有意义,即要保证n-1>=1,即n>=2,所以这一步求到的是n>=2的时候的公式。所以 a1 要另外求,其实很简单,只要将 n=1带入Sn求得a(1)。算到这里要注意,数学讲究简洁美,这里要把n=1带入前面求得的an公式中看是否满足,...
数学数列问题
解:∵Tn是数列{an}前n项积。∴an=Tn\/Tn-1 ① 又由已知Tn=1-an,∴an=1-Tn ② 联立 ①② Tn\/Tn-1=1-Tn 整理得Tn=[(Tn-1)+1]\/Tn-1 两边同取倒数:1\/Tn=1\/Tn-1 + 1 易知 T1=a1 ∵Tn=1-an ∴T1=1-a1 ∴T1=1-T1 ∴T1=1\/2 ∴{1\/Tn}是首项为2,公差为1的...
设等差数列{an}的前n项和为sn,且S₆=9S₂,3a₃-4=a₆,求通项...
- 4 现在我们已经得到了等差数列的通项公式,可以将a₁和a₂用a表示,将a₆用a₃表示:aₙ = a₃ + (n - 3)d 其中,a₃为等差数列的第三项,d为公差。因此,等差数列{an}的通项公式为:aₙ = a₃ + (n - 3)d ...
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,数列{an²}的前n项和为Tn...
-4=0,即:Sn+S(n-1)=1 ∴S(n-1)+S(n-2)=1 ∴上述两式相减,得:an+a(n-1)=0,∴an=-a(n-1)∴{an}是等比数列,而令n=1得:(a1-2)²+3(a1)^2=4,∴a1=1 ∴an=(-1)^(n-1)第(2)、(3)问应该比较简单了,还不会或者有问题的话,可以继续追问!
师咸美侬: 数列{an}的前n项和为Sn,故 Sn =a1+a2+a3+…+an, 若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}不一定是递增数列,如当an由数列{Sn}是递增数列,不能推出数列{an}的各项均为正数,如数列:0,1,2,3,…, 满足{Sn}是递增数列,但不满足数列{an}的...
融水苗族自治县17865225441: 数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1 - 2+3 - 4+…+( - 1)n - 1?n,则S17=------ - ?
师咸美侬: ∵Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1?n, ∴S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17 =(-1)+(-1)+…+(-1)8个 +17=-8+17=9. 故答案为:9.
融水苗族自治县17865225441: 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(1+λ) - λan.(1)求Sn.(2)若数列{an}为等比 - ?
师咸美侬: 1. n=1时,a1=S1=(1+λ)-λa1 (1+λ)a1-(1+λ)=0 (1+λ)(a1-1)=0 1+λ=0或a1=1或两等式同时成立. 1+λ=0时,Sn=an n≥2时,Sn=an S(n-1)=a(n-1) an=Sn-S(n-1)=an-a(n-1) a(n-1)=0,即数列为各项均为0的常数数列,同时可得1+λ=0与a1=1不同时成...
融水苗族自治县17865225441: 数列极限问题无穷等比数列an的前n项和为sn,则数列an有极限是数列sn有极限的什么条件 - ?
师咸美侬:[答案] 设等比数列 a(n) 的公比是q ;a(1)和q不等于0 ; a(n) = a(1) * q^(n-1) ; S(n) = a(1) * (1-q^n) / (1-q) ; 当 n 趋于正无穷时,如果 a(n) 有极限,即 a(1) * q^(n-1) 极限存在,那么 0
融水苗族自治县17865225441: 已知数列an 的前n项和为Sn...数学题! - ?
师咸美侬: s1=a1=2 1*a(2)=s(1)+1*2=2+2=4 a(2)=4 s(2)=a(1)+a(2)=6 2*a(3)=s(2)+2*3=6+6=12 a(3)=6猜想a(n)=2n因为a(n+1)=2(n+1) s(n)=2(1+2+3+...+n)=n(n+1) na(n+1)-sn-n(n+1)=2n(n+1)-n(n+1)-n(n+1)=0 即 na(n+1)=sn+n(n+1) 又a(1)=2*1=2 猜想得证
融水苗族自治县17865225441: 高一数学已知数列an的前n项和为sn,且an,1,2sn成等差数列.求an通项 - ?
师咸美侬: 解:由题得 2*1=an+2sn 令n=1得 2=a1+2a1 a1=2/3 取n+1得 2=a(n+1)+2s(n+1) 两式相减得0=2-2=a(n+1)-a(n)+2[s(n+1)-s(n)]=a(n+1)-a(n)+2a(n+1)=3a(n+1)-a(n),a(n+1)=(1/3)a(n),a(n+1)/a(n)=1/3 所以{a(n)}是首项为a(1)=2/3,公比为(1/3)的等比数列 a(n)=(2/3)(1/3)^(n-1) = 2/3^n
融水苗族自治县17865225441: 设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都有sn=n(a1+an)/2,求证an是等差数列.请按照我的思路来做.设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都... - ?
师咸美侬:[答案] an=sn-sn-1=[n(an-an-1)+(a1+an-1)]/2; an-1=sn-1-sn-2=[(n-1)(an-1-an-2)+(a1+an-2)]/2. an-an-1=[n(an-2an-1+an-2)+2(an-1-... 上式括号内相同,但系数不等,所以只有当: an-2an-1+an-2=0时成立,所以: 2an-1=an+an-2,故为等差数列.
融水苗族自治县17865225441: 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an - n(n∈N*)1.求证数列{an+1}是等比数列 - ?
师咸美侬: sn=2an-n s<n-1>=2a<n-1>-2n+1 sn-s<n-1>=an=2an-2a<n-1>-1 an+1=2a<n-1>+2 s<n+1>=2a<n+1>-n-1 s<n+1>-sn=a<n+1>=2a<n+1>-2an-1 a<n+1>+1=2an+2 (an+1)/(a<n+1>+1)=(2a<n-1>+2)/(2an+2)=(a<n-1>+1)/(an+1) 所以数列{an+1}是等比...
融水苗族自治县17865225441: 等差数列{An}的前N项和为Sn - ?
师咸美侬: 等差数列前n项和公式: Sn = (a1 + an) n / 2 , 将 an = a1 + (n - 1) d 代入,易得 , Sn = d / 2 n^2 + (a1 - d / 2) n , 可以看作 Sn 是 n 的二次函数 .因为 S12 = 84 = d / 2 * 12^2 + (a1 - d / 2) 12 ,S20 =460 = d / 2 * 20^2 + (a1 - d / 2) 20 , 所以 6 ...