高中数学数列知识点
导语:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列(sequence of number)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数。一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示,前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。
高中数列基本公式:
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=
2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式:Sn=
Sn=
Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q≠1时,Sn=
Sn=
高中数学数列知识点总结二:高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
3、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an
bn}、
、
仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
11、{an}为等差数列,则
(c>0)是等比数列。 12、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0且c
1) 是等差数列。 13. 在等差数列
中: (1)若项数为
,则
(2)若数为
则,
,
14. 在等比数列
中: (1) 若项数为
,则
(2)若数为
则,
高中数学数列求和的基本方法和技巧
1.公式法数列求和:
①等差数列求和公式;
②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;
③常用公式:
,
,
.如 (1)等比数列
的前
项和Sn=2n-1,则
=_____ (答:
); (2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”,如
表示二进制数,将它转换成十进制形式是
,那么将二进制
转换成十进制数是_______ (答:
) 2.分组数列求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. 如求:
(答:
) 3.倒序相加法求数列和:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前
和公式的推导方法). 如 ①求证:
; ②已知
,则
=______ (答:
) 4.错位相减法求数列和:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前
和公式的推导方法). 如(1)设
为等比数列,
,已知
,
,①求数列
的首项和公比;②求数列
的通项公式.(答:①
,
;②
); (2)设函数
,数列
满足:
,①求证:数列
是等比数列;②令
,求函数
在点
处的导数
,并比较
与
的大小。(答:①略;②
,当
时,
=
;当
时,
<
;当
时,
>
)
5.数列求和的裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:
①
; ②
; ③
,
; ④
;⑤
; ⑥
. 如(1)求和:
(答:
); (2)在数列
中,
,且Sn=9,则n=_____
(答:99);
6.通项转换法求数列和:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。如
①求数列1×4,2×5,3×6,…,
,…前
项和
= (答:
); ②求和:
(答:
)
高中数学求数列通项公式常用以下几种方法:
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列,直接用其通项公式。
例:在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求该数列的通项公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1,d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断,是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和,用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解:∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)
此类题在解时要注意考虑n=1的'情况。
三、已知an与Sn的关系时,通常用转化的方法,先求出Sn与n的关系,再由上面的(二)方法求通项公式。
例:已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2),且a1=-,求数列{an}的通项公式。
解:∵an=SnSn-1(n2),而an=Sn-Sn-1,SnSn-1=Sn-Sn-1,两边同除以SnSn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴{-} 是以-为首项,-1为公差的等差数列,∴-= -,Sn= -,
再用(二)的方法:当n2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时不适合此式,所以,
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子,常用累加、累积的方法求通项公式。
例:设数列{an}是首项为1的正项数列,且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求数列{an}的通项公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列,∴an+1+an ≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,这n-1个式子,将其相乘得:∴ -=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式,而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时,可以考虑通过变形,构造出含有 an(或Sn)的式子,使其成为等比或等差数列,从而求出an(或Sn)与n的关系,这是近一、二年来的高考热点,因此既是重点也是难点。
例:已知数列{an}中,a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式 (2)略
解:由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--= (--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--,公比为--1的等比数列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--) ,于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例:在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N*),证明数列{an-n}是等比数列。
证明:本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1,可变形为an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式,则仍可以通过求出{an-n}的通项公式,再转化到an的通项公式上来。
又例:设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理为1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以{1-an}是首项为1-a1,公比为--的等比数列,得an=1-(1-a1)(--)n-1
等差数列的前n项和的数学知识点
1、等差数列中,已知5个元素:a1,an,n,d, S中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。为减少运算量,要注意设元的技巧,时间管理,如奇数个成等差,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…,偶数个成等差,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…2、等差数列{an}中,(1)...
高二数学必修五知识点总结
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列。高二数学必修五知识点总结2 一、不等关系及不等式知识点 1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号、、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.2.比较两...
数列都有哪些?
① 知识点定义来源与讲解:数列是按照一定规律排列的数字序列。数列在数学中是一个重要的概念,有广泛的应用和研究。数列的定义可以追溯到数学的早期发展,被广泛讨论和研究的数列有很多种类。② 知识点运用:数列的应用非常广泛,涉及到不同数学分支和应用领域。数列的运算、性质和特点对于数学推理、数值...
高一数学必修五知识点总结
而数学也是我们必须学习的重要课程之一,我为各位同学整理了高 一年级数学 必修五知识点 总结 ,希望对你有所帮助! 高一数学 必修五知识点总结1 【差数列的基本性质】 ⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d. ⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为...
求高一数学数列知识点(人教版)
⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数),则 = .⑸在等差数列{ a }中,S = a,S = b (n>m),则S = (a-b).⑹等差数列{a }中, 是n的一次函数,且点(n, )均在直线y = x + (a - )上.⑺记等差数列{a }的前n项和为S .①若a >0...
高中数学数列总结
知识点2: 分组结合法(分组求和法、拆项法)若数列 的通项公式为 ,其中 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般用分组结合法。知识点3:裂项相消法 (裂项法)如果一个数列的每一项都能化为两项之差,并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同,求和时中间项相互抵消,这种数列求和的...
中职数学知识点有哪些?
四、数列的概念:1、数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)。在第二个位置的叫第2项,……,序号为n 的项叫第n项(也叫通项)记作na。五、函数的表示方法:表示函数的方法,常用的有...
高中数学数列的相关内容
②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时,也要进行分类;③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整 体思想求解.(4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类...
详细解释,高一数学,等差数列的知识点
那么S4就是最值,如果对称轴是4.5,距离4和5一样进,那么S4和S5都是最值,而且S4=S5 通项法,第一种情况是,数列是递减的,前几项是正数,后面全是负数,那么前n项和加到最后一个正数的时候最大,而如果在数列中有0,比如a4>0 , a5=0 , a6<0 , 那么S4和S5为最大值,而且S4=S5 ...
等差数列求和公式及答题技巧
深入解析:等差数列的求和公式与解题策略 等差数列的求和,是数学中的基础知识点,其公式揭示了数列和与其项数、首项和公差的巧妙关系。首先,让我们来看看基本的公式:1. 基本公式末项公式: an = a1 + (n-1)d,其中 an 为第n项,a1 为首项,d 为公差。首项公式: a1 = an - (n-1)d,即...
住吴克尼: 列的概念、性质、通项公式及求和公式.(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以...
崇仁县19426051849: 高中数列知识点详解 - ?
住吴克尼: 第一:掌握两个重要的数列:等差数列和和等比数列,重点掌握它们的性质、通项公式的求法以及n项和的求法(公式).这两个数列是常考的题型.必须要熟练掌握!第二:学会常见的数列通项公式an的求法(主要有:定义法、叠加法、曡乘法、构造数列法、猜想和数学归纳法)和n项和Sn的求法(公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法等),同时要多积累和总结这方面的题型.第三:要想拿高分,还要积累一些常见的放缩公式,以便用于证明一些有关数列不等式 第一和第二是重点也是基础,一定要掌握!至于第三嘛,靠慢慢积累才行!
崇仁县19426051849: 高中数学数列总结 - ?
住吴克尼: 教学课题: 数列的求和 备课人:王德固 教学目的:小结数列求和的常用方法,尤其是要求学生初步掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法求解一些特殊的数列; 教学前的准备:(1) 基本公式:① 等差数列的前n...
崇仁县19426051849: 求高中数列知识点总结,大人们帮帮忙啦,拜托拜托啦?
住吴克尼: 等差数列的基本性质 ⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d. ⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd. ⑶若{ a }、{ b }为等差数列,则{ a ±b }与{ka +b}(k、b为非零常数)也...
崇仁县19426051849: 帮忙总结一下高中数列的基础知识 - ?
住吴克尼: 高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列的前 项和 ,则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .(2)数列计算...
崇仁县19426051849: 关于高中数列的知识....?
住吴克尼: 数列--2010届高三数学一轮复习必备精品(大纲版) ......章 数列 1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项. 2、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前...
崇仁县19426051849: 哪个大师 能帮我归纳一下高中数列知识 高三复习了 希望能用上 给分 - ?
住吴克尼: 数列知识精要 数列 [数列的通项公式] [数列的前n项和] 等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示....
崇仁县19426051849: 高三数列专题总结?
住吴克尼: 数列是高中数学的重要内容,它是学习高等数学的基础,是高考的热点问题.在高考中灵活运用通项公式、前n项和公式以及两种特殊数列的性质将是考查的重点.在数列的考查中主要体现了函数与方程、等价转化、分类讨论、归纳等数学思想...
崇仁县19426051849: 求高中数列相关知识点?
住吴克尼: 数学的: 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有...
崇仁县19426051849: 高中数学关于数列的公式 - ?
住吴克尼: 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示. (1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1) 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0...