勾股定理的证明方法
加菲尔德证法、加菲尔德证法变式、青朱出入图证法、欧几里得证法、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、赵爽弦图证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法、梅文鼎证法、向明达证法、杨作梅证法、李锐证法
例,如下图:
设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。
因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四边形BDLK=BAGF=AB²。
同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC²。
把这两个结果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是个正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。
扩展资料
性质:
1、勾股定理的证明是论证几何的发端;
2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,即它是第一个把几何与代数联系起来的定理;
3、勾股定理导致了无理数的发现,引起第一次数学危机,大大加深了人们对数的理解;
4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程,它引出了费马大定理;
5、勾股定理是欧氏几何的基础定理,并有巨大的实用价值,这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠,被誉为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。1971年5月15日,尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票,这十个数学公式由著名数学家选出的,勾股定理是其中之首。
证法一:
这是最简单精妙的证明方法之一,几乎不用文字解释,可以说是无字证明。如图所示,左边是4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。
图形变换后面积没有变化,左边大正方形的边长是直角三角形的斜边c,面积是c2;右边图形可分割为两个正方形,它们的边长分别为直角三角形的两条直角边a和b,面积就是a2+b2,于是a2+b2=c2。
图中左边的“弦图”最早出现在公元222年的中国数学家赵爽所著《勾股方圆图注》,赵爽是我国数学史上证明勾股定理的第一人。2002年8月,在北京召开的国际数学家大会,标志着中国数学进入崭新的时代,大会会徽就是这个“弦图”,寓意中国古代数学取得的重要成果。
证法二:
这一解法应该是来历最有趣的证明方法之一,是由美国第20任总统茄菲尔德(JamesA.Garfield,1831~1881)用下图证明出的。
这位总统并不是一位数学家,他甚至都不曾学习过数学。他只是非正式地自学过几何知识,很喜欢摆弄基础图形,当他还是众议院议员时,想出了这个精巧的证明,1876年发表在《新英格兰教育杂志》(New England Journal of Education)上。总统先生的证明如下:
首先,图中的梯形面积为:
组成梯形的三个三角形的面积为:
因此就有如下等式:
即得a2+b2=c2。
接下来的两个证明非常简单易懂,被认为是所有证明中最短、最简单的证明,因为从开始到结束只用了几行。但这些证明依赖于相似三角形的概念,要全面展开这个概念还需要大量的基础工作,这里就不再赘述。
证法三:
证法四:
这一证法涉及到圆内相交弦定理:m·n=p·q(如左图),再看AB和CD垂直的情况,相交弦定理仍然成立(如右图),因此(c-a)(c+a)=b2。即得c2-a2=b2于是,a2+b2=c2。
4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2
化简后便可得: a 2 +b 2 =c 2
亦即:c=(a 2 +b 2 ) (1/2)
证法4 如图26-5(项名达图),在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ(图26-5)。可以证明(从略),GF的延长线必过D。延长AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF于H,则EKGH必为边长等于a的正方形。
设五边形EKJBD的面积为S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面,
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1),(2)得
c2=a2+b2
都行
三角学里有一个很重要的定理,我国称它为勾股定理,又叫商高定理。因为《周髀算经》提到,商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。
最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分,将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的,故从等量中减去等量,便可推出:斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为,直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。
下图是H.珀里加尔(Perigal)在1873年给出的证明,它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的,因为这种划分方法,labitibn Qorra(826~901)已经知道。(如:右图)下面的一种证法,是H
a方+b方=c方就可以了
勾股定理的历史与证明方法?
这也是一种证明勾股定理的方法,而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。在对勾股定理为数众多的证明中,人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法:设△ABC中,∠C=90°,由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,因为∠C=90°,所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。这一证法,看来正确,而且...
勾股定理的多种证明方法
90º.又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则 a^2+b^2=S+2 x 1\/2xab c^2=S+2x1\/2 x ab ∴ a^2+b^2=c^2.参考资料:百度百科-勾股定理 ...
勾股定理的证明方法
勾股定理,是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是...
勾股定理的证明方法是什么
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。证明方法 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c...
什么是勾股定理
勾股定理的内容是:在一个直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边的平方和。用数学表达式表示就是:c²=a²+b²,其中c是斜边长,a和b是两条直角边的长度。这个定理的证明方法有很多种,其中比较简单的一种是利用正方形的性质。假设有一个直角三角形ABC,其中角C是直角。我们可以...
最简单的勾股定理的证明方法是什么?
图中左边的“弦图”最早出现在公元222年的中国数学家赵爽所著《勾股方圆图注》,赵爽是我国数学史上证明勾股定理的第一人。2002年8月,在北京召开的国际数学家大会,标志着中国数学进入崭新的时代,大会会徽就是这个“弦图”,寓意中国古代数学取得的重要成果。证法二:这一解法应该是来历最有趣的证明...
勾股定理怎么推导的
勾股定理基本公式:a²+b²=c²(在直角三角形中,两个直角边分别为a和b;斜边为c)。勾股定理意义:1.勾股定理的证明是论证几何的发端。2.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。3.勾股定理导致了无理数的发现,引起第一次...
勾股定理是怎么推导的?
证明方法多种,下面采取较简单的几何证法。先证明定理的前半部分,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,那么BC=AB\/2 ∵∠A=30° ∴∠B=60°(直角三角形两锐角互余)取AB中点D,连接CD,根据 直角三角形斜边中线定理可知CD=BD ∴△BCD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形...
勾股定理的证明方法
在平面几何的瑰宝中,勾股定理犹如基石,它揭示了直角三角形内直角边与斜边的神奇关系:两直角边的平方和等于斜边的平方。这一发现在中国古代便被赋予了"勾股形"和"商高定理"的优雅名称,其中短边称勾,长边称股,斜边称弦。一个巧妙的证明方法是通过构建四个全等的直角三角形,假设直角边分别为a和b...
什么是勾股定理?怎么算,请举个例子说明
由勾股定理得,a + b = c → 3 +4 = c 即,9 + 16 = 25 = c²c = √25 = 5 所以我们可以利用勾股定理计算出c的边长为5。勾股定理的逆定理:勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法,其中AB=c为最长边:如果a² + b² = c² ,...
韩径康哌:[答案] 一,毕达哥拉斯证法 二,赵爽证法 三,将直角三角形与其它三角形拼成直角梯形,然后就根据梯形面积证出勾股定理.
抚顺县19490089605: 数学勾股定理的证明方法,至少七种.最好是比较常见的,不是也没关系.一定要带图,证明清楚. - ?
韩径康哌:[答案] 证法1 作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使... 证法5(欧几里得的证法) 《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设...
抚顺县19490089605: 勾股定理的证明方法? - ?
韩径康哌: 勾股定理的证明:在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名. 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊. 1.中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形,如图,...
抚顺县19490089605: 怎样证明勾股定理? - ?
韩径康哌: 勾股定理的证明方法 广西桂平市大洋中学 覃祖海 勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,因为这个定理太贴近人们的生活实际,以至于古往今来,下至平民百姓,上...
抚顺县19490089605: 最简单的勾股定理的证明方法是什么? - ?
韩径康哌: 简单的勾股定理的证明方法如下: 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边...
抚顺县19490089605: 勾股定理是怎么被证明出来的? - ?
韩径康哌:[答案] 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话: 周公问:“我听说您对数... 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长...
抚顺县19490089605: 勾股定理证明方法带图,较难的,多种方法 - ?
韩径康哌:[答案] 刘徽在证明勾股定理时,也是用的以形证数的方法,只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原也有一幅图,可惜图已失传,只留下一段文字:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂.开方除之,...
抚顺县19490089605: 验证勾股定理的两种方法 - ?
韩径康哌: 勾股定理勾股定理又叫商高定理、毕氏定理,或称毕达哥拉斯定理(Pythagoras Theorem).在一个直角三角形中,斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和.如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a�0�5+b�0�5=c�0�5...
抚顺县19490089605: 用多种方法证明勾股定理?
韩径康哌: 勾股定理的证明:在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名. 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊. 1.中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形,如图,...
抚顺县19490089605: 求一种证明勾股定理的方法 - ?
韩径康哌: 勾股定理的证明:在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名. 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊. 1.中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形,如图,...