一道入门的高等数学题，刚开始学高数。要用极限单调收敛准则证明并求极值。

一道高数的数列极限题目，求解，需要先证明存在极限，再求极限，极限比较好求，但是不知道怎么证明。~

极限存在的充要条件是，该数列单调有界。
1）先证有界。

2）再证单调性

3）最后求极限
根据单调有界必收敛准则，该极限存在。

写得够详细吧。在证明有界性的时候实际上要用到 x_1，我直接跳过了，你可以加上。

(1)数学归纳法证明 ai0 即可
单增有上界，有极限 极限设为A ，有A²=lima²(n+1)=lim[a(n)+2]=A+2
解得A=2 或A=-1 明显 A>a[1]>0 所以 A=2

(2) 1-a[n+1]=(1-a[n])²;
可用数学归纳法证明 0<1-a[n]<1
那么0<1-a[n+1]=(1-a[n])²<1-a[n]
{1-a[n]}单调有下界极限存在 设lim (1-a[n])=A
那么有A=A² A=0或A=1由于 A<1-a[1]<1
所以A=0
lim (1-a[n])=0
lima[n]=1

证明：
因为：
x(n+1) = 1+{x(n)/[1+x(n)]} = [1+2x(n)]/[1+x(n)]，且x(1) =1 > 0
因此：
x(n+1) > 0
易知：
x(n+1) =1+{x(n)/[1+x(n)]} > 1
且：
x(n+1) <1+ [x(n)]/[x(n)] = 1+1 = 2
即：
1 < x(n+1) < 2
x(n+1) / x(n)
= [1+2x(n)]/[1+x(n)] / x(n)
= {[1/x(n)] +2 } / {[1/x(n)] +1 }
因为：
[1/x(n)] +2 > [1/x(n)] +1
所以：
x(n+1) / x(n) > 1
即：
x(n+1) > x(n)
因此：该数列单调递增且有上届
所以该数列极限必定存在
令： lim x(n) = A ，则：
由x(n+1) = 1+{x(n)/[1+x(n)]}，得：
A = 1+[1/(1+A)]
解得：
A = (√5-1)/2

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玛沁县19797219482： 高等数学一道很基础的证明题若函数f(x)在(a,b)内具有二阶函数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a - ？
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玛沁县19797219482： 高等数学题一道 - ？
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玛沁县19797219482： 很基础的一道高等数学极限题？
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