数列收敛有哪些条件？
若数列{an}的各项满足an≤an+1(an≥an+1)，则称{an}为递增(递减)数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。
定理2.9(单调有界定理)：在实数系中，有界的单调数列必有极限，且其极限就是它的上(下)确界.
证：若{an}为有上界的递增数列. 由确界原理可知，{an}有上确界，记
a=sup {an}. 则对ε>0，有{an}中的某一项aN，使得a-ε<aN.
∵{an}递增，∴当n≥N时，有a-ε<aN≤an.
又{an}有上界，∴对一切an，都有an≤a<a+ε.
综上，当n≥N时，有a-ε<an <a+ε, ∴lim(n→∞)an=a.
若{an}为有下界的递减数列. 由确界原理可知，{an}有下确界，记
b=inf {an}. 则对ε>0，有{an}中的某一项aN，使得b+ε>aN.
∵{an}递减，∴当n≥N时，有b+ε>aN≥an.
又{an}有下界，∴对一切an，都有an≥b>b-ε.
综上，当n≥N时，有b-ε>an >b+ε, ∴lim(n→∞)an=b.
例：证明数列√2, √(2+√2) ,…√(2+√(2+…+√2) )(n个根号) …收敛，并求其极限.
证：记an=√(2+√(2+…+√2) ) ，且a1=√2<2, 可设an<2，则有
a_(n+1)=√(2+an )<√(2+2)=2，从而对一切n，有an<2，即{an}有界。
又a1=√2>0，a2=√(2+a1 )>√2=a1>0，可设an>a_(n-1)，即an-a_(n-1)>0；
则a_(n+1)-an=√(2+an)-√(2+a_(n-1))=(an-a_(n-1))/(√(2+a_n)+√(2+a_(n-1)))>0，
∴{an}递增.
由单调有界定理可知，数列{an}有极限，记为a.
由a_(n+1)^2=2+an，对两边取极限得
a^2=2+a，解得a= -1或a=2. 由数列极限的保不等式性知，a= -1不合理，舍去.
∴lim( n→∞)√(2+√(2+…+√2)) =2.
定理2.10(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件是：对任何ε>0，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε.
柯西准则的条件称为柯西条件.
例：证明：任一无限十进制小数a=0.b1b2…bn…的n位不足近似(n=1,2,…)所组成的数列：
b1/10,b1/10+b2/10^2 ,…,b1/10+b2/10^2 +…+bn/10^n ,…
满足柯西条件(从而必收敛)，其中bk为0,1,2,…,9中的一个数，k=1,2,….
证：记an=b1/10+b2/10^2 +…+bn/10^n , 不妨设n>m，则对任给的ε>0，
要使|an-am|=b_(m+1)/10^(m+1) +b_(m+2)/10^(m+2) +…+bn/10^n
≤9/10^(m+1) (1+1/10+…+1/10^(n-m-1) )
=9/10^(m+1)((1-1/10^(n-m))/(1-1/10))=1/10^m (1-1/10^(n-m))
<1/10^m <1/m<ε=1/(1/ε),
只要取N=1/ε，则对一切n>m>N，有|an-am|<ε. 可见该数列满足柯西条件.
怎样理解数列收敛的条件?
收敛数列与其子数列间的关系：1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。3、如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。全局收敛对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即...
怎么证明数列收敛?
则称数列xn有界。定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。保号性，如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。
收敛的必要条件是什么?
比如，数列是典型的不连续函数，但是，可以收敛、有界；y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数。令{an}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|-A|
为什么数列有界不一定收敛
数列收敛的定义：对于数列{a_n}，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，当n>N时，有|a_n-L|<ε成立，则称数列{a_n}收敛于L，记作lima_n=L或a_n→L。根据这个定义，我们可以看出数列收敛的条件包括两个重要要素：存在一个极限值L，并且数列中的元素随着n的增大...
数列收敛的充要条件是什么?
条件收敛，指的是技术给定其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。数列介绍如下：数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。数列中的每一...
数列收敛的充分条件是什么
3） 单调有界原理 任何单调（单调递增或递减）且有界的数列都收敛。=== 的确，从逻辑上讲，充要条件也是充分条件。原来对楼主的题目意图理解有误，以为是专门指充分而不必要的条件。现做补充 4）柯西收敛准则 设有一数列{Xn}，该数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数...
收敛数列是一个什么样的概念?
收敛数列性质 1、如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。2、设有数列Xn ， 若存在M>0，使得一切自然数n，恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。3、数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。收敛数列的有效学习方法 理解收敛数列的定义 收敛数列是指当数列的项趋于无穷时，数列的极限存在，...
数列收敛的必要条件是什么
恒有|Xn-a|0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列xn有界。定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
数列收敛有界的条件有哪些?
首先，数列收敛的条件是数列的极限存在。如果一个数列没有极限，那么它就是发散的，不满足收敛的条件。例如，数列{1,2,3,...}就是一个没有极限的数列，因为它没有趋近于一个固定的值。其次，数列有界的条件是数列的极限有限。如果一个数列的极限是无穷大或者无穷小，那么这个数列就是无界的，不...
函数收敛一定有界吗?
函数收敛不一定有界，因为有界的充要条件是既有上界又有下界。收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn...
楚秦天甲： 理论上讲,充分条件应该很多很多.但归根结底,主要的充分条件应该有以下3条:1)数列收敛的基本定义 设{Xn}为一已知数列,A是一个常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正整数 N=N(ε),使得当 n>N 时,有 |Xn -A| < ε ,则称数...
宝应县19250431067： 数列收敛充要条件? - ？
楚秦天甲：[答案] 简单的说就n-->无穷大时候,数列有极限.可以根据极限的定义判定收敛性. 极限,其中有数列极限(收敛)的定义.
宝应县19250431067： 数列有界是它收敛的什么条件? - ？
楚秦天甲： 必要但不充分条件证明: 若an→a, 那么有对所有的e>0,存在自然数N, 当n>N,时 |an-a|<e 就是说 n>N时 a-e<an<a+e,是有界的 对于n<=N时,那N个数(有限多个),必然有一个最大的ai,和一个最小aj的取M=max{a+e,ai} m=min{a-e,aj} 那么M,m分别是an的上界和下界 所以an有界.这就说明了收敛数列必有界.但有界,不一定收敛 比如 an=(-1)^n 这个数列是这样的 -1,1,-1,1.... 不收敛,但是 -1<=an<=1 是有界的.所以 数列有界是它收敛的必要但不充分条件
宝应县19250431067： 数列收敛的充分条件是什么充分必要条件当然也是充分条件 - ？
楚秦天甲：[答案] 理论上讲,充分条件应该很多很多.但归根结底,主要的充分条件应该有以下3条:1)数列收敛的基本定义设{Xn}为一已知数列,A是一个常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正整数 N=N(ε),使得当 n>N 时,有 |Xn -A|解析看不懂?免费查看...
宝应县19250431067： 数列{xn}有界是此数列收敛的______条件. - ？
楚秦天甲：[答案] 必要性成立. 假设 lim n→∞xn=A. 由收敛的定义, 对于ɛ=1,存在正数N,当n>N时,|xn-A|<1,从而A|+1. 取M={|A|+1,x1,…,xN}, 则对于任意n,均有|xn|≤M, 即数列{xn}有界. 但是,有界序列不一定收敛,如xn=(-1)n,有界但不收敛. 故答案为:必要.
宝应县19250431067： 数列{xn}有界是此数列收敛的 - -----条件 - ？
楚秦天甲： 必要性成立. 假设 lim n→∞ xn=A. 由收敛的定义, 对于?=1,存在正数N,当n>N时,|xn-A|取M={|A|+1,x1,…,xN}, 则对于任意n,均有|xn|≤M, 即数列{xn}有界. 但是,有界序列不一定收敛,如xn=(-1)n,有界但不收敛. 故答案为:必要.
宝应县19250431067： 数列{xn}收敛的______条件是{x2n}和{x2n+1}分别收敛于同一极限. - ？
楚秦天甲：[答案] 必要性,因为{x2n}和{x2n+1}均为数列{xn}的子列,故必要性是显然的. 充分性:假设 lim n→∞x2n= lim n→∞x2n+1=A. 对于任意的ɛ>0, 存在N1>0,使得当n>N1时,|x2n-A|<ɛ, 存在N2>0,使得当n>N2时,|x2n+1-A|<ɛ, 取N=max{2N1,2N2+1},则...
宝应县19250431067： 高数中的数列收敛充要条件是什么?关于发散与收敛的问题.急求,谢谢 - ？
楚秦天甲： 1)数列收敛的基本定义 设{Xn}为一已知数列,A是一个常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正整数 N=N(ε),使得当 n>N 时,有 |Xn -A| < ε ,则称数列{Xn}当n趋于无穷时以A为极限,或称数列{Xn}收敛于A.2)夹挤定理 如果有三个...
宝应县19250431067： 证明数列收敛的充要条件证明定理( 数列收敛充要条件){an}收敛子列{a2k - 1}和{a2k}收敛于同一极限. - ？
楚秦天甲：[答案] 证明=>{an}收敛于a=>对任意ε>0,存在N>0,对任意n>N时,有|an-a|N时有2n-1>n,所以对任意ε>0,存在N,对任意n>N,|a(2n-1)-a|N时有2n>n,所以对任意ε>0,存在N,对任意n>N,|a2n-a|0,存在N1>0,对任意n>N1时,有|a(2n-1)-a|对...
