如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为
解：（1）∠AOC=60°；（2）CP与⊙O相切，∠PCO=90°，cos60°= ，PO=8。
（1）60°; （2）证明见解析; （3） 或 或 或 . 试题分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半径知，△AOC是等腰三角形，然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°；（2）由 求出PA的长，从而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=90 0 ，进而证得结论;（3）如图，当S △ MAO =S △ CAO 时，动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M 1 ，连接AM 1 ，OM 1 ,②过点M 1 作M 1 M 2 ∥AB交⊙O于点M 2 ，连接AM 2 ，OM 2 ，③过点C作CM 3 ∥AB交⊙O于点M 3 ，连接AM 3 ，OM 3 ，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．试题解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）.又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°.（2）如图,作PA边上的高CE,∵△AOC是等边三角形, OC=4，∴CE= .∵ ，∴ . ∴ .∴PA="AC=AO=4." ∴∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO.∴∠PCO=90 0 .又∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线. （3）如图，①作点C关于直径AB的对称点M 1 ，连接AM 1 ，OM 1 ．此时S △ M1AO =S △ CAO ，∠AOM 1 =60°.∴弧AM 1 = .∴当点M运动到M 1 时，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 .②过点M 1 作M 1 M 2 ∥AB交⊙O于点M 2 ，连接AM 2 ，OM 2 ，此时S △ M2AO =S △ CAO ．∴∠AOM 1 =∠M 1 OM 2 =∠BOM 2 =60°.∴弧AM 2 = .∴当点M运动到M 2 时，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 ．③过点C作CM 3 ∥AB交⊙O于点M 3 ，连接AM 3 ，OM 3 ，此时S △ M3AO =S △ CAO , ∴∠BOM 3 =60°.∴弧AM 3 = .∴当点M运动到M 3 时，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 .点M运动到C时，M与C重合，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 .
（1）解：∵AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∴CO=AO=4，
又∵∠OAC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC的度数为60°；
（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，
∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，
∴AD=DO=2，
∴CD=
1）60°; （2）证明见解析; （3）或或或. 【解析】 试题分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半径知，△AOC是等腰三角形，然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°； （2）由求出PA的长，从而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=900，进而证得结论; （3）如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1,②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长． 试题解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）. 又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°. （2）如图,作PA边上的高CE, ∵△AOC是等边三角形, OC=4，∴CE=. ∵，∴. ∴.∴PA=AC=AO=4. ∴ ∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO. ∴∠PCO=900. 又∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线. （3）如图， ①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1． 此时S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°.∴弧AM1=. ∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为. ②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2， 此时S△M2AO=S△CAO．∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°.∴弧AM2=. ∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为． ③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3， 此时S△M3AO=S△CAO, ∴∠BOM3=60°.∴弧AM3=. ∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为. 点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO， 此时点M经过的弧长为. 考点：1.动点问题;2.等腰三角形的性质;3. 等边三角形的判定和性质;4.切线的判定;5. 弧长的计算;6.分类思想的应用. 在圆o中,ab为直径,点c为半圆中点,点d是 在⊙O中,AB是直径,CD是弦,若AB⊥CD于E,且AE=2,EB=8, 则CD=___ 如图,已知在圆o中,AB=4根号3,AC是圆的直径,AC⊥BD于F,∠A=30求图中的... 如图,AB是⊙O的直径,AB=2,点C在⊙O上,∠CAB=30°,D为BC的中点,P是直径... 如图18,已知在圆O中,AB=4倍根号3,AC是圆O的直径,AC⊥BD=于F,角A=30... 如图AB、CD是半径为5的⊙O中两弦,弦长AB=6,CD=8,则图中两块阴影部分的... 如下图,在⊙O中,点P在直径AB上运动,但与A、B两点不重合,过点P作弦CE... 如图,在⊙o中,点p为ab弧的中点,弦ad,pc互相垂直,垂足为m,bc分别与 一道初中数学题:已知:如下图,在○O中,弦AB,CD交于点P,E,F分别是弧AB... 如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,M、N分别在AB、AC上,其中N是AC的中点,AM... 秦蚁左旋：[答案] 由OA=OC及∠OAC=60°可知△OAC为正三角形,所以∠AOC=60°. 疏附县13823264232： 如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,CD是一条弦,且CD⊥AB于点P.连接BC,AD,求证PC2=PA*PB - ？ 秦蚁左旋：[答案] 连接AC与BC 求得直角三角形APC与BPC是相似三角形后用 PC/PA=PB/PC 即可证得 疏附县13823264232： 如图所示,在⊙O中,AB是⊙O的直径,C.D是⊙O上的两点,且C,D在AB的两侧,OD⊥AB,求证:如图所示,在⊙O中,AB是⊙O的直径,C.D是⊙O上... - ？ 秦蚁左旋：[答案] 证 因OD⊥AB,所以弧AD=弧BD 所以它们所对的圆周角相等 所以角ACD=叫BCD 所以DC平分 疏附县13823264232： 如图,在⊙o中,AB是⊙o的直径,弦CD⊥AB与E,连接OD(1)若AB=13,BC=5,求AC和CD的长(2)求证:∠A=二分之一∠DOB - ？ 秦蚁左旋：[答案] (1)∵AB是直径,∴∠ACB=90°,由勾股定理可得AC=√(13²-5²)=12∵AB⊥CD,∴AB平分CD及CD弧由1/2AB*CE=1/2AC*BC得,CE=5*12÷13=60/13∴CD=2CE=120/13(2)连结OC∵AB平分CD及CD弧∴∠BOC=∠DOB∵∠A=1/2∠BOC... 疏附县13823264232： 如图,AB为⊙O的直径,C、D分别为OA、OB的中点,CF⊥AB,ED⊥AB,点E、F都在⊙O上,求证:(1)CF=DE; - ？ 秦蚁左旋： 证明:(1)连结OF、OE,如图,∵AB为⊙O的直径,C、D分别为OA、OB的中点,∴OC=OD,而OF=OE,∴Rt△OCF≌Rt△ODE,∴CF=DE;(2)在Rt△OCF中,OC=1 2 OF,∴∠CFO=30°,∴∠COF=60°,∴∠BOE=60°,∴∠EOF=180°-60°-60°=60°,∴∠AOF=∠FOE=∠EOD,∴ AF = EF = BE ;(3)∵OE=OA,∴∠A=∠OEA,∵∠DOE=∠A+∠OEA=60°,∴∠A=30°,∴AE=2DE,∴AE=2CF. 疏附县13823264232： 如图,AB为⊙O的直径,C、D分别为OA、OB的中点,CF⊥AB,ED⊥AB,点E、F都在⊙O上,求证:(1)CF=DE; (2)AF=EF=BE;(3)AE=2CF. - ？ 秦蚁左旋：[答案] 证明:(1)连结OF、OE,如图,∵AB为⊙O的直径,C、D分别为OA、OB的中点,∴OC=OD,而OF=OE,∴Rt△OCF≌Rt△ODE,∴CF=DE;(2)在Rt△OCF中,OC=12OF,∴∠CFO=30°,∴∠COF=60°,∴∠BOE=60°,∴∠EOF=180°-... 疏附县13823264232： 如图1,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦,OC=4,∠OAC=60度.(1)求∠AOC的度数;(2)在图1中,P为直径BA延长线上的一点,当CP与⊙O相切... - ？ 秦蚁左旋：[答案] (1)∵在△ACO中,∠OAC=60°,OC=OA ∴△ACO是等边三角形∴∠AOC=60°. (2)∵CP与⊙O相切,OC是半径. ∴CP⊥OC,又∵∠OAC=∠AOC=60°, ∴∠P=90°-∠AOC=30°, ∴在Rt△POC中,CO= 1 2PO=4, 则PO=2CO=8; (3)如图,(每找出一点... 疏附县13823264232： 如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠BAC=30°,则∠ADC= - ----- - ？ 秦蚁左旋： ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠B=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-30°=60°, ∵∠B+∠D=180°, ∴∠D=180°-60°=120°. 故答案为120°. 疏附县13823264232： 如图所示,已知AB为⊙O的直径,C、D是直径AB同侧圆周上两点,且弧CD=弧BD,过D作DE⊥AC于点E,求证:DE是⊙O的切线. - ？ 秦蚁左旋：[答案] 证明:连接OD,BC,交于点F,如图所示: ∵ CD= BD,OD为圆O的半径, ∴OD⊥BC, ∴∠OFB=90°, ∵AB为圆O的直径, ∴∠ACB=∠OFB=90°, ∴AE∥OD, ∴∠ODE+∠AED=180°, 又AE⊥ED,∴∠AED=90°, ∴∠ODE=90°, ∴DE⊥OD, 则... 疏附县13823264232： 如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,已知∠D=30°.(1)求∠A的度数;(2)若点F在⊙O上,CF⊥AB,垂足为E,... - ？ 秦蚁左旋：[答案] (1)连接OC,∵CD切⊙O于点C∴∠OCD=90°(1分)∵∠D=30°∴∠COD=60°(2分)∵OA=OC∴∠A=∠ACO=30°;(4分)(2)∵CF⊥直径AB,CF=43∴CE=23(5分)∴在Rt△OCE中,tan∠COE=CEOE,OE=CEtan60°=233=2,∴OC... 你可能想看的相关专题
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