若∑an^2收敛，∑an/n收敛吗？（an不一定是正项级数）证明或举反例
这是收敛的
lim(x-->0)an/(1/n^2)=0.说明an是1/n^2的高阶无穷小 1/n^2收敛，所以∑an收敛
一个简单的例子
设奇数项 an = 1/n^2
偶数项 an=1/n^3
显然部分和单调有界，收敛。前后项的比值极限不存在。
证明：首先记M=∑1/n^2（事实上=π^2/6）。
由Cauchy收敛准则，对任意ε>0 ，总存在N>0，使得任意N<n1<n2有
∑{n1<=n<=n2} an^2<ε^2/M。
所以由Cauchy不等式，
(∑{n1<=n<=n2} |an/n|)^2
=[∑{n1<=n<=n2} |an|*(1/n)]^2
<=(∑{n1<=n<=n2} an^2)(∑{n1<=n<=n2} 1/n^2)
<(ε^2/M)(∑{1<=n<∞} 1/n^2)
=(ε^2/M)*M=ε^2，
所以
∑{n1<=n<=n2} |an/n|<ε。
再由Cauchy收敛准则可知∑|an/n|收敛，即∑an/n绝对收敛。
若正项级数∑(n从1到∞)an收敛,证明∑(n从1到∞)an^2也收敛,但反之则不...
证明正项级数收敛，只需证明其部分和数列有上界 显然，正项级数∑(n从1到∞)an收敛，则Sn=a1+a2+...+an有界 从而Tn=a1^2+a2^2+...+an^2<Sn^2有上界 所以∑(n从1到∞)an^2也收敛 反之不然，举例令an=1\/n
设级数 (∑的下面是 n=1 上面是∞) an^2收敛(n为下标),则级数(∑的下 ...
A 绝对收敛 设 bn = 1\/n, ∑ bn² 收敛 | an * bn | ≤ (1\/2) ( an² + bn²)∴ ∑ an * bn 绝对收敛.
对于数项级数若∑an收敛,那么∑a2n收敛吗?
解题过程如下图：定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|
若正项级数∑(1到n)an收敛,则∑(1到n)根号an\/n收敛,求证明。
lim根号下(an\/n)\/(an-1\/n-1)=(an\/an-1)*(n-1\/n)小于1，所以，∑(1到n)根号an\/n收敛。令{an}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0，存在一个正整数N，使得对于任意n>N，有|an-A|
^若级数∑an绝对收敛,那么级数∑an^2\/(1+an^2)是
级数∑an绝对收敛,an→0 所以存在N当n>N时，(an)²<|an|,所以级数∑(an)²收敛 而，(an)²\/(1+(an)²)≤(an)²所以∑an^2\/(1+an^2）收敛，因为该级数的一般项加绝对值不变，所以绝对收敛。
an2收敛an递减吗
不一定。1.an2收敛并不能得出an收敛。例如一般项为1\/n^2的级数是收敛的，但是1\/n并不收敛而是发散的。2.an2收敛an不一定递减。例如an=(-1)^n\/n，此时单调性是不断变化的。
高数问题,有关级数收敛
例如an=(-1)^(n-1)\/n ∑a(2n-1) - a(2n)=∑1\/n发散 ∑an + a(n+1) 里两个项是同号的，由于∑an收敛，所以∑2an也收敛，并且任意添加括号后也收敛 ∑2an=2a1+2a2+...+2an+...=a1+(a1+a2+...+an+...)+[a2+a3+...+a(n+1)+...]=a1+∑[an + a(n+1)]所...
若幂级数∑an(x-1)^n在x=-1处收敛,则此级数在x=2处(绝对收敛)为什么呀...
∑an(x-1)^n 在x=1处收敛，则∑an(-2)^n 收敛 收敛半径R=|-1-1|=2 在x=2处，∑an(+1)^n 则 2-1 则 2-1<R， 在收敛区域内。即此级数在x=2处绝对收敛
∑的问题。数学高手请进!!!
∑ 以“∑”来表示和式号（∑”正是σ的大写。)示例：∑An=A1+A2+...+An ∑只是项数太多的加法的一种表示,能不能合并就看两个东西能不能相加.∑是数列求和的简记号，它后面的k^2是通项公式，下面的k=1是初始项开始的项数，顶上的n是末项的项数。n ∑k^2=1^2+2^2+……+n^2……...
如果正项级数∑an收敛 则∑bn=ln(1+a2n的敛散性如何判断?其中n和2n为...
因正向级数∑an收敛，因此正项级数∑a2n收敛,所以a2n -> 0.又bn=ln(1+a2n) > 0, 且lim(1+a2n)\/a2n -> 1, 因此∑a2n与∑bn=ln(1+a2n)同敛散。因此，∑bn=ln(1+a2n)收敛。
勤策新康： 二者应该无绝对的关系 例如: 1. ∑(1/n)为调和级数,明显发散;但∑(1/n^2)明显收敛 2. ∑(1/n^2)以及∑(1/n^4)皆明显收敛 有不懂欢迎追问
白山市15580207047： 若∑an^2收敛,∑an/n收敛吗 - ？
勤策新康： 先证(1)成立,∑anbn绝对收敛 ,用比较定理即可. 然后(2)(3)都能推出(1).
白山市15580207047： 证明:若正项级数∑an收敛,则∑an^2也收敛 - ？
勤策新康： 对任意有限项都有(∑an)^2>=∑an^2,左边极限存在,右边是飞减的,所以右边极限存在.反例:an=1/n.后一项收敛到 pi^2/6,前一项是调和级数发散.
白山市15580207047： 若正项级数∑an绝对收敛,则级数∑an^2 必收敛 - ？
勤策新康： 正确.由题意,∑an收敛,则an→0,所以n充分大时,an
白山市15580207047： 正项级数∑An2收敛,则正项级数∑An也收敛?原因. - ？
勤策新康：[答案] 不收敛,举个例子如下:取An=1/n∑An^2收敛正项级数∑An为调和级数,发散
白山市15580207047： 若级数∑an收敛,则级数∑an^2 必收敛 - ？
勤策新康： 若an求和绝对收敛,说明至少有an->0,所以任取e>0,存在n>0,使得n>n时,|an|0且比an更快.根据比较审敛法得到结论.
白山市15580207047： 无穷级数问题lim(n→0)an=0,那么∑an就收敛吗?如果不是有什么反例呢?我遇到个问题:若∑(an平方)收敛,证明∑(an/n)必收敛高手帮忙啊.这俩问题在线... - ？
勤策新康：[答案] lim(n→0)an=0,那么∑an就收敛吗?如果不是有什么反例呢? 这个问题的答案是否定的,反例是∑(1/n) 若∑(an平方)收敛,证明∑(an/n)必收敛 证明,∑(an)^2收敛,∑(bn)^2=∑(1/n)^2收敛(p级数p>1时收敛) 所以∑|anbn|≤∑(1/2)((an)^2+(bn)^2)收...
白山市15580207047： 若级数∑an收敛,则级数∑an^2 必收敛求反例,或者证明, - ？
勤策新康：[答案] 未必.例如 an = [(-1)^n]/√n, 则交错级数 ∑an 收敛,但级数 ∑an^2 = Σ(1/n) 是调和级数,是发散的.
白山市15580207047： 级数收敛性的证明求:设∑an^2收敛,证明:∑an/n绝对收敛? - ？
勤策新康：[答案] 证明:∑an^2收敛, 所以,∑|an|收敛, 所以,∑|an|/n收敛, 所以,∑an/n绝对收敛.
白山市15580207047： 正项级数∑An收敛是正项级数∑An^2收敛的什么条件 - ？
勤策新康： 你好!当正项级数∑An收敛时,∑An^2也收敛,所以正项级数∑An收敛是正项级数∑An^2收敛的(充分)条件.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.谢谢!
