对于数项级数若∑an收敛，那么∑a2n收敛吗？

怎么证明正项级数∑an收敛，∑a2n收敛，n和2n都是角标。要步骤？~

设第一个级数的前n项部分和为s(n),第二个级数的前n项部分和为t(n).由题设知道
lim s(n)存在，从而有上界，设其中一个上界为S, 则 s(2n)≤S ，而 t(n)≤s(2n)≤S
因此t(n)有界，显然t(n)是单调增加的数列，由单调有界原则，lim t(n) 存在，即第二个级数收敛。

一样的，只是表示同一个级数的项时，开始的n取值调整一下就可以了
比如An中n从1到无穷，An+1只需n从0 开始到无穷就可以了（仍然表示同一个级数）
如果n都从一个数字比如1开始，那么表示的级数只是有几项不同，不影响收敛性（后面级数相当于将前面级数去掉了开始的一项而已）。
收敛性只是余项的情况决定，开始的有限项无论怎么变都没关系；只是可能会造成和不一样，收敛性不受有限项的变化影响

解题过程如下图：

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

扩展资料

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数

对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级数u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域。

这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)

记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)=0

解题过程如下图：

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

扩展资料：

收敛的类型：

1.绝对收敛

一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数。

如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，则称级数Σun绝对收敛

2.条件收敛

如果级数Σun收敛，而Σ∣un∣发散，则称级数Σun条件收敛。

收敛的类型：

1.全局收敛

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

2.局部收敛

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

如图所示：

---

新和县13681781589： 若∑an是正项收敛级数,那么∑sinan也收敛么?若∑an是正项收敛级数,那么∑sinan也收敛么? - ？
臾典劲朗：[答案] 收敛,因为an趋向0时,sinan
新和县13681781589： 证明:若正项级数∑an收敛,则∑an^2也收敛 - ？
臾典劲朗：[答案] 对任意有限项都有(∑an)^2>=∑an^2,左边极限存在,右边是飞减的,所以右边极限存在. 反例:an=1/n.后一项收敛到 pi^2/6,前一项是调和级数发散.

新和县13681781589： 如果正项级数∑an收敛 则∑bn=ln(1+a2n的敛散性如何判断?其中n和2n为下标重点是不懂∑an收敛 a2n怎么判断 - ？
臾典劲朗：[答案] 因正向级数∑an收敛,因此正项级数∑a2n收敛,所以a2n -> 0. 又bn=ln(1+a2n) > 0,且lim(1+a2n)/a2n -> 1,因此∑a2n与∑bn=ln(1+a2n)同敛散. 因此,∑bn=ln(1+a2n)收敛.

新和县13681781589： 有关级数收敛若级数∑an收敛,为什么级数∑an + a(n+1)也收敛?而∑a(2n - 1) - a(2n)不一定收敛? - ？
臾典劲朗：[答案] 例如an=(-1)^(n-1)/n∑a(2n-1) - a(2n)=∑1/n发散∑an + a(n+1) 里两个项是同号的,由于∑an收敛,所以∑2an也收敛,并且任意添加括号后也收敛∑2an=2a1+2a2+...+2an+...=a1+(a1+a2+...+an+...)+[a2+a3+...+a(n+1)+...]...

新和县13681781589： 若级数∑An收敛,则∑An+1也收敛吗 - ？
臾典劲朗： 这个显然收敛; 【书上一定有:】 1、级数收敛性与级数的前n个项无关;又: 2、任意改变有限个项的值,不改变级数敛散性;简证一下: ∑An=a 部分和数列 Sn ∑An+1 部分和数列 Tn Tn=Sn-a1+a(n+1) lim(n->∞)Tn=limSn-a1+lima(n+1)=a-a1

新和县13681781589： 正项级数∑An2收敛,则正项级数∑An也收敛?原因. - ？
臾典劲朗：[答案] 不收敛,举个例子如下:取An=1/n∑An^2收敛正项级数∑An为调和级数,发散

新和县13681781589： 若正项级数∑an绝对收敛,则级数∑an^2 必收敛这里是正项级数,还有,这句话对吗?不是绝对收敛呢? - ？
臾典劲朗：[答案] 正确. 由题意,∑an收敛,则an→0,所以n充分大时,an<1,从而an^2
新和县13681781589： 求解关于数项级数的问题:证若数列{ Ani}是数列{ An}的一个子列,∑(∞,n=0)An收敛,则∑(∞,n=0)Ani也收敛 - ？
臾典劲朗：[答案] 结论不对.必须改成正项级数才对. 对正项级数而言,级数(Ani)的部分和解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答

新和县13681781589： 设正项级数∑an收敛,证明∑a2n亦收敛;试问反之是否成立? - ？
臾典劲朗：[答案] 设s= ∞ n=1an,由级数 ∞ n=1an收敛,知 存在M>0,使得∀n∈N,有|an|≤M ∴ ∞ n=1an2≤ ∞ n=1Mun=Ms 故级数 ∞ n=1un2也收敛 但反之不成立,例如: ∞ n=1 1 n2收敛,但调和级数 ∞ n=1 1 n是发散的.

新和县13681781589： 若级数∑an收敛,则级数∑an^2 必收敛 - ？
臾典劲朗： 未必.例如an = [(-1)^n]/√n,则交错级数 ∑an 收敛,但级数∑an^2 = Σ(1/n) 是调和级数,是发散的.