如果正项级数∑an收敛 则∑bn=ln(1+a2n的敛散性如何判断？其中n和2n为下标

正项级数∑an收敛,bn=（-1）^n ln(1+a2n),则∑bn的收敛性是绝对收敛还是条件？n和2n为下标~

bn=（-1）^n ln(1+a2n)绝对收敛，因为ln(1+a2n)~a2n, 而∑a2n收敛。
若正项级数∑an收敛，则其前n项和数列单调增加有上界，从而∑a2n的前n项和数列也单调增加有上界，从而收敛。

由不等式1+x<e^x(x大于10时）
所以ln(1+x)<x
所以
若∑f(n）收敛
则∑ln((1+f(n）)收敛
对数函数性质
加法变成函数里的乘法
所以数列ln(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))收敛
所以收敛

啊，就是再证反方向吧


若数列收敛
设此数列的通项为an
则an=1+f(1)+...+f(n)+...>f(1)+...+f(n)
设不等式右端为bn
则因为an收敛，所以bn收敛
注意到右端bn就是∑f(n）的前n项和
而级数收敛的定义就是前n项和这个数列收敛
所以∑f(n）收敛
得证

我说显然就是因为
比f(1)+...+f(n) 大
所以直接就能看出来了

这题难在第一个方向，要想到用自然对数的方法把加法变乘法

因正向级数∑an收敛，因此正项级数∑a2n收敛,所以a2n -> 0.
又bn=ln(1+a2n) > 0, 且lim(1+a2n)/a2n -> 1, 因此∑a2n与∑bn=ln(1+a2n)同敛散。
因此，∑bn=ln(1+a2n)收敛。

n是所有自然数项，2n是所有正偶数项，他们是集合与子集的关系，前一个收敛，后一个肯定收敛啦

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武威市19631296119： 如果正项级数∑an收敛 则∑bn=ln(1+a2n的敛散性如何判断?其中n和2n为下标重点是不懂∑an收敛 a2n怎么判断 - ？
采秦奇谷：[答案] 因正向级数∑an收敛,因此正项级数∑a2n收敛,所以a2n -> 0. 又bn=ln(1+a2n) > 0,且lim(1+a2n)/a2n -> 1,因此∑a2n与∑bn=ln(1+a2n)同敛散. 因此,∑bn=ln(1+a2n)收敛.

武威市19631296119： 证明:若正项级数∑an收敛,则∑an^2也收敛 - ？
采秦奇谷： 对任意有限项都有(∑an)^2>=∑an^2,左边极限存在,右边是飞减的,所以右边极限存在.反例:an=1/n.后一项收敛到 pi^2/6,前一项是调和级数发散.

武威市19631296119： 设正项级数∑an收敛,bn=( - 1)^n ln(1+a2n),则∑bn的收敛性是绝对还是条件?(题目中的n 2n 均为下标) - ？
采秦奇谷： 由不等式1+x所以ln(1+x)所以 若∑f(n)收敛 则∑ln((1+f(n))收敛 对数函数性质 加法变成函数里的乘法 所以数列ln(1+f(1))(1+f(2))-----(1+f(n))收敛 所以收敛 啊,就是再证反方向吧 若数列收敛 设此数列的通项为an 则an=1+f(1)+...+f(n)+...>f(1)+...+f(n) 设不等式右端为bn 则因为an收敛,所以bn收敛 注意到右端bn就是∑f(n)的前n项和 而级数收敛的定义就是前n项和这个数列收敛 所以∑f(n)收敛 得证 我说显然就是因为 比f(1)+...+f(n) 大 所以直接就能看出来了 这题难在第一个方向,要想到用自然对数的方法把加法变乘法

武威市19631296119： 正项级数∑an收敛,bn=( - 1)^n ln(1+a2n),则∑bn的收敛性是绝对收敛还是条件?n和2n为下标 - ？
采秦奇谷： bn=(-1)^n ln(1+a2n)绝对收敛,因为ln(1+a2n)~a2n, 而∑a2n收敛.若正项级数∑an收敛,则其前n项和数列单调增加有上界,从而∑a2n的前n项和数列也单调增加有上界,从而收敛.

武威市19631296119： 设正项级数∑an收敛,证明∑a2n亦收敛;试问反之是否成立? - ？
采秦奇谷：[答案] 设s= ∞ n=1an,由级数 ∞ n=1an收敛,知 存在M>0,使得∀n∈N,有|an|≤M ∴ ∞ n=1an2≤ ∞ n=1Mun=Ms 故级数 ∞ n=1un2也收敛 但反之不成立,例如: ∞ n=1 1 n2收敛,但调和级数 ∞ n=1 1 n是发散的.

武威市19631296119： 若正项级数∑un收敛,级数∑un∧2收敛吗 - ？
采秦奇谷： 一定收敛,可以用比较审敛法的极限形式,由∑un收敛可知其一般项趋于0,故可证其收敛

武威市19631296119： 若正项级数∑an绝对收敛,则级数∑an^2 必收敛 - ？
采秦奇谷： 正确.由题意,∑an收敛,则an→0,所以n充分大时,an

武威市19631296119： 设∑an为收敛的正项级数,证明存在一个收敛的正项级数∑bn,使得liman/bn=0 - ？
采秦奇谷： 这是du Bois Reymond定理 由∑an收敛du可知,余项Rn单调递减趋zhi于0,bn=√daoR(n-1)-√Rn 记R0=∑an,易知an=R(n-1)-Rn an/bn= √R(n-1)+√Rn→0 下检验∑bk=√R0-√Rk≤√R0 可见∑bn为所要求的收敛级数. 有疑问版请追问,满意请采纳~权\(≧▽≦)/~

武威市19631296119： 正项级数∑An2收敛,则正项级数∑An也收敛?原因. - ？
采秦奇谷： 不收敛, 举个例子如下: 取An=1/n ∑An^2收敛 正项级数∑An为调和级数,发散

武威市19631296119： 怎么用比较判别法判断级数的收敛性 - ？
采秦奇谷： 前提:两个正项级数∑n=1→ ∞an,∑n=1→ ∞bn满足0<=an<=bn 结论:若∑n=1→ ∞bn收敛,则∑n=1→ ∞an收敛 若∑n=1→ ∞an发散,则∑n=1→ ∞bn发散. 建议:用比较判别法判断级数的收敛性时,通常构造另一级数.根据另一级数判断所求...