计算二重积分I=∫∫D|n(1+x²+y²)da,其中D是由圆周x²+y²=1及坐标轴所围成的在第

计算二重积分∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dб,其中D是由y=-a+√~

解答：

在极坐标下
D={(r,θ)|0≤r≤-2asinθ，-π/4≤θ≤0}
解法一：
∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ
=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ)[r²/√(4a²-r²)]dr
=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ){[4a²-(4a²-r²)]/√(4a²-r²)}dr
=∫(-π/4,0)dθ{∫(0,-2asinθ)[4a²/√(4a²-r²)]dr-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr}.........①
记大括号中的值为I，则
I=∫(0,-2asinθ)[4a²/√(4a²-r²)]dr-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr
=4a²*arcsin(r/2a)|(0,-2asinθ)-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr
=-4a²θ-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr....................................................②

对于积分∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr的解法有两种：
方法一：套用不定积分公式∫√(a²-x²)dx=(a²/2)arcsin(x/a)+(1/2)x√(a²-x²)+C
（其证明过程有两种，一种是换元法，另一种是分部积分法，证明从略）
所以，
∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr
=[(4a²)/2]arcsin(r/2a)+(1/2)r√(4a²-r²)=-2a²θ-a²sin2θ
代入②，得
I=-4a²θ-[-2a²θ-a²sin2θ]=-2a²θ+a²sin2θ，代入①，得
∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ
=∫(-π/4,0)(-2a²θ+a²sin2θ)dθ
=(π²/16-1/2)a²
方法二：利用圆的几何性质，令s=√(4a²-r²)，则r²+s²=4a²，则该定积分可以看成是以(0,0)为圆心，以2a为半径的圆内r∈(0，2asin(-θ)的面积，如图阴影部分的面积即为所求。

该阴影部分可分为三角形和扇形，
S三角形=(1/2)*2asin(-θ)*2acosθ)=-a²sin2θ
S扇形=（1/2)*(2a)²*(π/2+θ)=πa²+2a²θ
所以，∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=S阴影=S三角形+S扇形=πa²+2a²θ-a²sin2θ，代入①得
∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ
=∫(-π/4,0)(πa²+2a²θ-a²sin2θ)dθ
=(π²/16-1/2)a²

解法二：
∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ
=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ)[r²/√(4a²-r²)]dr
=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)[(4a²sin²u)/√(4a²cos²u)]*2acosudu（令r=2asinu）
=4a²∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)sin²udu
=4a²∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)[(1-cos2u)/2]du
=4a²∫(-π/4,0)[(-1/2)θ+(1/4)sin2θ)]dθ
=(π²/16-1/2)a²

I=∫dx∫(x^2+y^2)dy
=∫dx[x^2y+y^3/3]|
=∫(x^4+x^6/3)dx
=1/5+1/21
=26/105.

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赣县19636839976： 计算二重积分I= ∫∫ ( |x|+y)dxdy, 其中D是由直线y=x,x=1及x轴所围成的区域 - ？
酉琰合心： 解:I=∫<0,1>dx∫<0,x>(│x│+y)dy =∫<0,1>(│x│x+x^2/2)dx =(3/2)∫<0,1>x^2dx =1/2.

赣县19636839976： 计算二重积分∫∫(1 x)sinydxdy,其中d:0≤x≤1 0≤y≤π/2 - ？
酉琰合心： 这样的二重积分两个积分分别进行即可,得到原积分=∫(1+x) dx * ∫siny dy= (x+0.5x^2) *( -cosy) 分别代入x,y的上下限(0,1)和(0,π/2) 得到原积分= 1.5 * 1= 1.5

赣县19636839976： ∫∫D(1+Ⅹ)sinydσ,D由y=x,ⅹ=1,x=2组成 - ？
酉琰合心： 这是二重积分基本计算,详细步骤如下: =∫(1,2)(1+x)dx∫(0,x)sinydy =∫(1,2)(1+x)dx -cosx(0,x) =-∫(1,2)(1+ⅹ)(cosx-1)dⅹ =-∫(1,2)(1+ⅹ)dsinx+∫(1,2)(1+ⅹ)dⅹ =-(1+x)sinx(1,2)+∫(1,2)sinxdx+(x+x^2/2)(1,2) =2sin1-3sin2-cosⅹ(1,2)+1+3/2 =2sin1-3sin2-cos2+cos1+5/2

赣县19636839976： 关于比较二重积分大小的题目 - ？
酉琰合心： ln(1+x)

赣县19636839976： 根号下y - x^2的绝对值的二重积分 - ？
酉琰合心： ∫∫_D √(y - x²) dxdy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) dy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) d(y - x²)= ∫(-1-->1) (2/3)(y - x²)^(3/2) |(0-->2) dx= ∫(-1-->1) (2/3)(2 - x²)^(3/2) dx= (4/3)∫(0-->1) (2 - x²)^(3/2) dx令x = √2sinθ,dx = √2cosθdθ当x = ...

赣县19636839976： 根据二重积分的性质,估计下列积分的值: I=∫∫(D为积分区域)(x+y+10)dσ,D={(x,y)|x^2+y^2<=1} - ？
酉琰合心： 根据二重积分的中值定理,m≤I/σ≤M, 其中m和M分别是f(x,y)在D上的最小值和最大值, ∵x^2+y^2<=1, ∴-1<=x<=1,-1<=y<=1, 设x=cosθ,y=sinθ, x+y=√2(cosθ*√2/2+sinθ*√2/2)=√2sin(π/4+θ), (x+y)(min)=-√2,(x+y)(max)=√2, (x+y+10)(min)=10-√2,(x+y+10)(max)=10+√2, S(σ)=π*(1^2)=π, ∴mπ≤I≤Mπ, (10-√2)π≤I≤(10+√2)π.

赣县19636839976： 设区域D={(x,y)|x²﹢y²≤1,x≥0},计算二重积分I=∫∫(1+xy)/(1﹢x²﹢y²)dxdy如题 急用 - ？
酉琰合心：[答案] 本题用极坐标系来做: 答案π*ln2

赣县19636839976： 麻烦请利用二重积分性质估计下列积分的值 谢谢;拉 - ？
酉琰合心： 1<=x+y+1<=4所以1*2<=∫∫(D为积分区域) (x+y+1) d〥<=4*2即2<=∫∫(D为积分区域) (x+y+1) d〥<=813<=(x^2+4y^2+9)<=25所以13*4<...

赣县19636839976： 二重积分的公式到底怎么列 看了公式也看不懂 - ？
酉琰合心： 二重积分公式是:∫∫f(x,y)dxdy x、y是未知数,分量,dx、dy是对应的分量的微元;两个的书写顺序可以随机交换. f(x,y)是被积函数,既然是二重积分,被积函数肯定是跟两个分量有关的,也可以只有其中一个分量,或者常数都行. ∫是积分符号,一个符号对应一个分量的积分.有几个分量就写几个∫.如果积分是有范围的区间从a→b,则称为定积分;只有一个∫符号没有上下界称为不定积分.比如,二重定积分是从坐标(a,b)→(c,d).其中a、b、c、d可以是有限数,也可以是+∞或者-∞.

赣县19636839976： 二重积分的概念与性质根据二重积分的性质,比较下列积分的大小∫∫ln(x+y)dσ与∫∫[ln(x+y)]³dσ,其中D的顶点分别是(1,0),(2,0),(1,1)的D D 三角形闭区域 - ？
酉琰合心：[答案] 设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n),并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极...