计算二重积分I=∫∫√x²+y²dxdy,其中D是由圆x²+y²=a²

计算∫∫√（x²+y²）dxdy，其中D是由圆周x²+y²=1围成的封闭区域~

使用极坐标来解：
令x=r *cosa，y=r *sina
D为x²+y²=2x与x轴围成
即r² < 2r *cosa，得到0<r< 2cosa
而a的范围是 -π/2到π/2
所以原积分=∫∫ r *r dr da
=∫ 1/3 *(2cosa)^3 da
=∫ 8/3 *(cosa)^2 d(sina)
=∫ 8/3 -8/3 *(sina)^2 d(sina)
= 8/3(sina) -8/9 *(sina)^3 代入sina的上下限1和 -1
=16/3 -16/9 =32/9

扩展资料：
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数 ，其积分区域D是由 所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。



故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。
在直角坐标系xOy中，取原点为极坐标的极点，取正x轴为极轴，则点P的直角坐标系（x，y）与极坐标轴（r，θ）之间有关系式：




在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。
为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。

如图

结果为：

解题过程如下图：

扩展资料

求函数积分的方法：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

如图

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暨蕊秋梨：[答案] 1.计算二重积分求∫∫e∧(y²)dxdy,其中D是由直线y=x,y=1及y轴未成的三角形闭区域. 一定要选择先积X: ∫【0,1】dy∫[0,y]e∧(y²)dx=:∫【0,1】ye∧(y²)dy=0.5e∧(y²)|[0,1]=0.5(e-1) 2.计算曲线积分∫(e∧y+x)dx+(xe∧y-2y)dy,其中L为从点O(0,0)沿曲线...

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暨蕊秋梨：[答案] 原式=∫dx∫√(y-x²)dy =(2/3)∫(1-x²)^(3/2)dx =(2/3)∫(cost)^4dt (令x=sint) =(2/3)∫[3/8+cos(2t)/2+cos(4t)/8]dt =(2/3)[3t/8+sin(2t)/4+cos(4t)/32]│ =(2/3)(3π/16+3π/16) =π/4.

克孜勒苏柯尔克孜自治州18096411234： 求二重积分∫∫丨x²+y² - 1丨dxdy,其中D=[0,1]*[0,1] - ？
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克孜勒苏柯尔克孜自治州18096411234： 二重积分的计算 - ？
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