计算二重积分 I=∫∫(D)(x^2+xye^(x^2+y^2))dxdy（求详细过程）

计算二重积分I=∫∫xye^(-x^2-y^2)dxdy，其中D为 x^2+y^2≤1在第一象限的区~

x=rcosa y=rsina xy=r^2sinacosa dxdy=rdrda
-x^2-y^2=-r^2
rE[0,1] aE[0,pai/2]
原式=1/2∫∫r^3sin(2a)e^(-r^2)drda
=1/4∫r^3e^(-r^2)dr∫sin(2a)d(2a)
∫r^3e^(-r^2)dr=1/2∫-r^2d(e^(-r^2))
=1/2*e^(-r^2)*(-r^2)-1/2∫e^(-r^2)d(-r^2)
=-r^2*e^(-r^2)/2-e^(-r^2)/2+C=-e^(-r^2)(r^2+1)/2+C

∫sin(2a)d(2a)=-cos2a+C

原式=1/8 * [(-(1+1)/e+1][1+1]
=(1-2/e)/4

曲线y=√x与直线y=x的交点为(0,0)和(1,1)
于是积分区域D={(x,y)|y²≤x≤y, 0≤y≤1}
从而原式=∫[0,1]siny/ydy∫[y²,y] 1 dx
=∫[0,1] sinydy-∫[0,1]ysinydy
=1-cos1-[-cos1+sin1]
=1-sin1

---

松潘县13575215986： 二重积分求问列式!计算二重积分I=∫∫(D)x^2*e^( - y^2)dxdy,其中D由直线y=x,y=1与y轴围成答案是1/6 - 1/(3e)我排的方程是:∫(0,1)dx∫(0,x)x^2*e^( - y^2)dy - ？
红农新达：[答案] 交换积分顺序:∫(0,1)dx∫(0,x)x^2*e^(-y^2)dy =∫(0,1)dy∫(0,y)x^2*e^(-y^2)dx =∫(0,1) (y^3)/3 * e^(-y^2)dy =(1/6)∫(0,1) (y^2) * e^(-y^2)d(y^2) 换元=(1/6)∫(0,1) t e^(-t)dt 然后分部积分就出来了

松潘县13575215986： 计算二重积分I=∫∫(D)x^2*e^( - y^2)dxdy,其中D由直线y=x,y=x与y轴围成答案是1/6 - 1/(3e)我排的方程是:∫(0,1)dx∫(0,x)x^2*e^( - y^2)dy - ？
红农新达：[答案] “其中D由直线y=x,y=x与y轴围成”有错!

松潘县13575215986： 二重积分的计算 - ？
红农新达： 利用极坐标计算二重积分,有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的. I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的积分上限是1,下限0 y的积分上限是x,下限是x² 积分区域D即为直线y=x,和直线y=x²在区间[0,1]所围成的面积,转换...

松潘县13575215986： 根号下y - x^2的绝对值的二重积分 - ？
红农新达： ∫∫_D √(y - x²) dxdy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) dy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) d(y - x²)= ∫(-1-->1) (2/3)(y - x²)^(3/2) |(0-->2) dx= ∫(-1-->1) (2/3)(2 - x²)^(3/2) dx= (4/3)∫(0-->1) (2 - x²)^(3/2) dx令x = √2sinθ,dx = √2cosθdθ当x = ...

松潘县13575215986： 利用二重积分的性质估计下列积分:I=∫∫D(x^2+4y^2+9)dδ,其中D={(x,y)|x^2+y^2 - ？
红农新达：[答案] 区域D的面积为4*π,x^2+4y^2+9在此区域内的最大值为25,最小值为9,所以由估值不等式,结果为36π~100π

松潘县13575215986： 计算三重积分I=∫∫∫(D)(x^2+y^2)dxdydz,其中D是由曲面z=(x^2+y^2)^(1/2)与z=2 - x^2 - y^2所围成的闭区域？
红农新达： 选用柱坐标系:0≤ θ≤ 2Pi ,0≤ r ≤ 2,r^2 /2 ≤ z ≤ 2 原式 = ∫ dθ ∫ dr ∫ r^3 dz = ∫ dθ ∫ r^3 ( 2- r^2 /2 ) dr = 2 Pi * (r^4 /2 - r^6/12) | r=2= 16 Pi /3

松潘县13575215986： 计算二重积分I= ∫∫根号下1 - x^2 - y^2 dxdy 其中D:x^2+y^2=0 y>=0 (∫∫符号下为D) 要详解特别是 分别求 原函数的 时候. - ？
红农新达：[答案] 这个用极坐标令x=pcosa,y=psinaa∈[0,π/2]p∈[0,1]代入得原积分=∫[0,π/2]∫[0,1]√(1-p^2)*pdpda=∫[0,π/2]da∫[0,1]√(1-p^2)*pdp=π/2*(-1/2)∫[0,1]√(1-p^2)d(1-p^2)=π/2*(-1/3)(1-p^2)^(3/2)[0,1]=π/6...

松潘县13575215986： 计算二重积分I= ∫∫e`(x`2)dxdy,(D在积分号)下面其中D是第一象限中曲线y=x,y=x·3所围成的区域 - ？
红农新达： ∫∫e^(x^2)dxdy = ∫ e^(x^2)dx y = ∫ e^(x^2) (x - x^3) dx =1/2 ∫ e^(x^2) (1 - x^2) dx^2 = 1/2∫ e^t(1-t)dt = (2-t)e^t = e - 2

松潘县13575215986： 根据二重积分的性质,估计下列积分的值: I=∫∫(D为积分区域)(x+y+10)dσ,D={(x,y)|x^2+y^2<=1} - ？
红农新达： 根据二重积分的中值定理,m≤I/σ≤M, 其中m和M分别是f(x,y)在D上的最小值和最大值, ∵x^2+y^2<=1, ∴-1<=x<=1,-1<=y<=1, 设x=cosθ,y=sinθ, x+y=√2(cosθ*√2/2+sinθ*√2/2)=√2sin(π/4+θ), (x+y)(min)=-√2,(x+y)(max)=√2, (x+y+10)(min)=10-√2,(x+y+10)(max)=10+√2, S(σ)=π*(1^2)=π, ∴mπ≤I≤Mπ, (10-√2)π≤I≤(10+√2)π.

松潘县13575215986： 0≤x≤π,0≤y≤1,则I=二重积分I=∫∫D xsinydxdy,D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤1} D是积分区域,求I= - ？
红农新达：[答案] 这是最特殊的二重积分问题:其一是被积函数可以分解为单独关于x和关于y的因式,其二是积分区域是矩形. 这种问题可以化为两个定积分解决: