计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中D=((x,y)|x^2+Y^2<a^2,x>0)

计算二重积分I=∫∫(x^2-2sinx+3y+4)dxdy,其中D为x^2+y^2≤R^2 请~

第一个也可以使用对称性，不过用极坐标计算更简单

假设a>0，
利用极坐标公式
令x=rcost
y=rsint
则D={(r,t)| 0≤r≤a, -π/2≤t≤π/2}
dxdy=rdrdt
于是原式=∫∫D (r²+3rsint)rdrdt
=∫【-π/2,π/2】dt ∫【0,a】(r³+3r²sint)dr
=∫【-π/2,π/2】(0.25a^4+a³ sint) dt
=0.25πa^4
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

解：用代换法
令x=rcosα，y=rsinα，其中r∈[0,a)，α∈[0,2π)，且|J|=r。
原积分I=∫[0,2π]∫[0,a](r^2+3rsinα)rdrdα
=∫[0,2π](a^4/4-a^3*sinα)dα
=πa^4/2

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松滋市19522121177： 计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2)d,其中D由y=x^2,y=x所围成 - ？
晏钩德宝： 曲线y=√x与直线y=x的交点为(0,0)和(1,1) 于是积分区域D={(x,y)|y²≤x≤y, 0≤y≤1} 从而原式=∫[0,1]siny/ydy∫[y²,y] 1 dx=∫[0,1] sinydy-∫[0,1]ysinydy=1-cos1-[-cos1+sin1]=1-sin1

松滋市19522121177： 计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中D=((x,y)|x^2+Y^2<a^2,x>0) - ？
晏钩德宝： 假设a>0,利用极坐标公式 令x=rcost y=rsint 则D={(r,t)| 0≤r≤a, -π/2≤t≤π/2} dxdy=rdrdt 于是原式=∫∫D (r²+3rsint)rdrdt =∫【-π/2,π/2】dt ∫【0,a】(r³+3r²sint)dr =∫【-π/2,π/2】(0.25a^4+a³ sint) dt =0.25πa^4 不明白可以追问,如果有帮助,请选为满意回答!

松滋市19522121177： 求解一道高数重积分计算题,计算二重积分∫∫|x^2+y^2 - 1|dσ,其中积分区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}.π/4 - 1/3 .请写出解题步骤,谢谢楼下的回答,你这方法我想... - ？
晏钩德宝：[答案] 用极坐标 相当于积|r^2-1|/2 d(r^2) 先取负,积1/4圆弧内 后取正,r=1到r=secθ θ为0到π/4 r=1到r=cscθ θ为π/4到π/2

松滋市19522121177： 计算二重积分 ∫∫(x^2+y^2)dσ,其中D由直线y=x^2,直线x=1及x轴所围成的区域 - ？
晏钩德宝：[答案] 积分区域为:0《x《1,0《y《x^2 ∫∫(x^2+y^2)dσ =∫(0,1)dx∫(0,x^2)(x^2+y^2)dy =∫(0,1)[x^2y+y^3/3)|(0,x^2)]dx =∫(0,1)[x^4+x^6/3)dx =(1/5)+(1/21) =26/105

松滋市19522121177： 老师 你好 这道题 怎么做 高数计算二重积分I=∫∫(R^2 - x^2 - y^2)^1/2 其中D是园x^2+y^2=Ry - ？
晏钩德宝： 简单计算一下即可,答案如图所示

松滋市19522121177： 二重积分的题目计算二重积分I=∫∫cos(x^2+y^2)dxdy,其中D是由x轴和y=(π/2 - x^2)^1/2所围成的闭区域.请案是不是零?请问是用极坐标吗? - ？
晏钩德宝：[答案] 不是!

松滋市19522121177： 计算二重积分 ∫∫(x^2+y^2 - x)dxdy ,其中D由 y = x,y = 2x及x =1所围成. - ？
晏钩德宝：[答案] ∫∫(x^2+y^2-x)dxdy = ∫dx ∫(x^2+y^2-x)dy = ∫dx [x^2y+y^3/3-xy] = ∫[(10/3)x^3-x^2]dx = [(5/6)x^4-x^3/3] = 1/2

松滋市19522121177： 二重积分的计算计算I=∫dx∫(x^2+y^2)^ - 1/2 dy x的积分上限是1,下限0 y的积分上限是x,下限是x^2 会的请把详细过程写下来,这题怎么变换的请详细说出!不... - ？
晏钩德宝：[答案] 利用极坐标计算二重积分,有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的. I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的积分上限是1,下限0 y的积分上限是x,下限是x² 积分区域D即为直线y=x,和直线y=x²在区间[0,1]所围成的面积,转换为极坐...

松滋市19522121177： 计算二重积分.∫∫(x^2+y^2)dσ,D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域,我看了有别人提问过这个,但是回答是要分段积分.如果我一次积分dx,二次积... - ？
晏钩德宝：[答案] ∫∫(x^2+y^2)dσ=∫[a,3a]dy∫[y-a,y](x^2+y^2)dx (其中[ ] 表示上下限)=∫[a,3a](y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2)dy=(y^4/12-(y-a)^4/12+a*y^3/3)[a,3a]=3^4*a^4/12-2^4*a^4/12+3^3*a^4/3-a^4/12+0-a^4/3=(81/12-16...

松滋市19522121177： 计算二重积分∫∫D(x^2+y^2)dxdy,D由x^2+y^2=4围成,您帮我看看这题,有高手帮我回答了, - ？
晏钩德宝：[答案] 这个题是极坐标最典型的题了 ∫∫ (x²+y²) dxdy =∫∫ r³ drdθ =∫[0→2π]dθ∫[0→2] r³ dr =2π(1/4)r^4 [0→2] =8π