a（n+1）=an+n a1=1 求an的通项公式

设a1=2,a(n+1)=2/(an+1),bn=|an+2|/|an-1|, 求{bn}的通项公式~

由bn=|(an+2)/(an-1)|,可得b(n+1)=|[a(n+1)+2]/[a(n+1)-1]|,再将a(n+1)=2/(an+1)带入b(n+1)，可得b(n+1)=2bn,所以bn为等比数列，由a1=2,得b1=4,所以bn为首项为4公比为2的等比数列，

通项为bn=4*2^(n-1)=2^(n+1)

由已知有
a(n+1)/an = n+1

所以取n=1,2,3...,n有

a2/a1 = 2
a3/a2 = 3
...
an/an-1 = n

把这些等式相乘有（注意抵消规律）：

an/a1 =2*3...*n
由于a1=1
所以an=1*...n =n!

n!表示n的阶乘

a(n+1)=(n+1)a(n)/n + (n+1)/2^n,
a(n+1)/(n+1) = a(n)/n + 1/2^n = a(n)/n + 1/2^(n-1) - 1/2^n,
a(n+1)/(n+1) + 1/2^n = a(n)/n + 1/2^(n-1),
{a(n)/n + 1/2^(n-1)}是首项为a(1)+1=2,的常数数列。
a(n)/n + 1/2^(n-1) = 2,
b(n) = a(n)/n = 2- 1/2^(n-1) = [2^n - 1]/2^(n-1),

a(n) = n[2^n - 1]/2^(n-1) = 2n - n/2^(n-1),
s(n)=n(n+1)-[1/1 + 2/2 + 3/2^2 + ... + (n-1)/2^(n-2) + n/2^(n-1)] = n(n+1)-t(n),
t(n) = 1/1 + 2/2 + 3/2^2 + ... + (n-1)/2^(n-2) + n/2^(n-1),
2t(n) = 2/1 + 2/1 + 3/2 + ... + (n-1)/2^(n-3) + n/2^(n-2),
t(n) = 2t(n) - t(n) = 2 + 1 + 1/2 + ... + 1/2^(n-2) - n/2^(n-1)
= 2 + [1-1/2^(n-1)]/(1-1/2) - n/2^(n-1)
= 2 + 2[1-1/2^(n-1)] - n/2^(n-1)
= 4 - (n+2)/2^(n-1),

s(n) = n(n+1)-t(n) = n(n+1)-4 + (n+2)/2^(n-1)
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an=a（n-1）+n-1

a(n-1)=a(n-2)+n-2
....
a2=a1+1
a1=1

两边相加
sn=s(n-1)+(n-1+1)(n-1)/2+1
sn-sn(n-1)=n(n-1)/2+1
an=(n²-n+2)/2

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a(n+1)=an+n即a(n+1)-an=n
所以n>=2时有
an-a(n-1)=n-1
....
a2-a1=1
以上n-1个式子相加得到
an-a1=1+2+3+...+（n-1）=n*(n-1)/2
an=n*(n-1)/2+1
n=1时，a1=1*(1-1)/2+1=1,也满足上式，所以
an=n*(n-1)/2+1

令n分别等于1 2 3时分别得出

a2=2
a3=4
a4=8
观察可得an=2^(n-1)

---

乌兰县17596184904： 已知数列{an}满足a(n+1)=an+n,a1=1,则an= - ？
校于佳多： a(n+1)=an+n即a(n+1)-an=n 所以n>=2时有 an-a(n-1)=n-1....a2-a1=1 以上n-1个式子相加得到 an-a1=1+2+3+...+(n-1)=n*(n-1)/2 an=n*(n-1)/2+1 n=1时,a1=1*(1-1)/2+1=1,也满足上式,所以 an=n*(n-1)/2+1

乌兰县17596184904： [数列]an+1=an+1/(n+1)n,a1=1,求an的通项公式. - ？
校于佳多： an+1=an+an/(n+1)(n+1)*a(n+1)=(n+2)*an a(n+1)/an=(n+2)/(n+1) 则:an/a(n-1)=(n+1)/n a(n-1)/a(n-2)=n/(n-1)..................a2/a1=3/2 所有项相乘,得:an/a1=(n+1)/2 an=(n+1)/2*a1=(n+1)/2 通项公式:an=(n+1)/2

乌兰县17596184904： 已知数列{an}满足an+1=an+n,a1=1,则an=n(n?1)2+1n(n?1)2+1 - ？
校于佳多： ∵an+1=an+n,a1=1,∴a2-a1=1a3-a2=2…an-an-1=n-1以上n-1个式子相加可得,an-a1=1+2+…+n-1= 1+n?1 2 *(n?1)=n2?n 2 ∴an= 1 2n2? 1 2 n+1故答案为:an= 1 2n2? 1 2 n+1

乌兰县17596184904： 2a(n+1)=an+n a1=1 求an的通项公式? - ？
校于佳多：[答案] 2a(n+1)=an+n a(n+1)=an/2+n/2 设a(n+1)+k(n+1)+b=(an+kn+b)/2 那么k/2+1/2=0,k+b/2=0 所以k=-1,b=2 所以a(n+1)-(n+1)+2=(an-n+2)/2 所以数列{an-n+2}是等比数列,公比是1/2 首项是a1-1+2=2 所以an-n+2=2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2) 所以an=n+(1/2)^(...

乌兰县17596184904： 已知数列{An}满足An+1=An+n a1=1 a8= - ？
校于佳多： a(n+1)=an+na(n+1)-an=nan-a(n-1)=n-1a(n-1)-a(n-2)=n-2…………a2-a1=1累加an-a1=1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2an=a1+n(n-1)/2=1+n(n-1)/2令n=8 a8=1+8*7/2=29

乌兰县17596184904： 求:a1=1,a(n+1)=an+1/n(n+1)的通项公式 - ？
校于佳多： a(n+1)=an+1/n-1/(n+1) a(n+1)+1/(n+1)=an+1/n 设bn=an+1/n 则:b(n+1)=bn b1=a1+1/1=2 所以:数列bn为常数列bn=2 所以an+1/n=2 an=2-1/n

乌兰县17596184904： 已知数列{an}的第一项a1=1,且a(n+1)=an/(1+an)(n=1,2……),试写出它的通项公式 - ？
校于佳多：[答案] a(n+1)=an/(1+an)得an*a(n+1)+a(n+1)=an 两边同除an*a(n+1)得1+1/an=1/a(n+1) 即1/a(n+1)-1/an=1 所以{1/an}是等差数列 1/a1=1 所以1/an=1/a1+(n-1)d=n 所以an=1/n

乌兰县17596184904： 数列{an}满足a(n+1)=2a(n)+n,a1=1,求a(n)的通项公式. - ？
校于佳多： 两边同时加上n+1,令b(n)=a(n)+n,则:b(n+1)=2b(n)+1,两边同时加上1,令c(n)=b(n)+1,则:c(n+1)=2c(n),好了,用等比数列求C的通项公式,b、a就可以得到了.

乌兰县17596184904： an+1=2an+n,a1=1,则求{an}的通项公式 - ？
校于佳多： 解:a(n+1)=2an+n=2an-(n+2)+2(n+1)a(n+1)+(n+2)=2an+2(n+1)=2[an+(n+1)][a(n+1)+(n+2)]/[an+(n+1)]=2,为定值a1+2=1+2=3数列{an+n+1}是以3为首项,2为公比的等比数列an+n+1=3·2ⁿ⁻¹an=3·2ⁿ⁻¹-n-1n=1时,a1=3·1-1-1=1,同样满足表达式数列{an}的通项公式为an=3·2ⁿ⁻¹-n-1

乌兰县17596184904： 在数列{An}中A(n+1)=An+n,a1=4,求{An}的通项公式 - ？
校于佳多： A(n+1)=An+nA2-A1=1A3-A2=2......An-A(n-1)=n-1An-A1=1+2+3+......+n-1An-4=n*(n-1)/2,An=4+n(n-1)/2,