收敛数列的结论

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关于收敛数列，结论如下：

收敛数列，数学名词，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

性质：唯一性。如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。

有界性。定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件

相互关系：

收敛数列与其子数列间的关系

子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M

若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。若数列某项起Xn>0（或Xn<0）且{Xn}收敛于a，则a>0（或a<0）。

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凌源市17675234384： 收敛数列的性质是? - ？
何梵氨酚：[答案] 1.如果数列收敛,那么它的极限唯一; 2.如果数列收敛,那么数列一定有界; 3.保号性; 4.与子数列的关系一致.发散的数列有可能有收敛的子数列.子数列收敛于不同的极限,则数列发散.

凌源市17675234384： 收敛数列的有界性证明 - ？
何梵氨酚： 目的是证明收敛数列的有界性. 数列{Xn}收敛到a(不是n=a,),根据极限定义对于任意E>0, 存在正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/

凌源市17675234384： 收敛数列的保号性怎么理解? - ？
何梵氨酚： 收敛数列的保号性: 1,若有正整数N,使得当n>N时An>0(或<0),则极限A>0(或<0). 2,若极限A>0(或<0),则有正整数N使得当n>N时,An>0(或<0). 例子:An=1/n ,每一个An都大于0,但极限A=0. 说明: 1、用反证法来说明:假...

凌源市17675234384： 证明数列收敛性 - ？
何梵氨酚： 利用“单调有界数列必收敛”的定理来证明 因为Xn=1/2*3/4*...*(2n-1)/2n<1/2*3/4*...*(2n-3)/(2n-2)=X(n-1) 所以{Xn}是单调递减数列 又因为0<Xn<X(n-1)<...<X1=1/2 所以{Xn}是有界数列 综上所述{Xn}收敛

凌源市17675234384： 如何证明数列收敛?? - ？
何梵氨酚： 楼上说有问题. 数列收敛的定义:如果数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,不等式|Xn-a|<q都成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列.证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值. 比如数列an=a0+1/n,随着n增大,lim(an)=a0,因此可证明数列{an}是收敛的. 具体证明各种数列收敛的方法是高数至少半个学期的课程,不可能在这给LZ一一列出来.LZ可参考微积分II的教材,非常详细.

凌源市17675234384： 如何证明收敛数列的极限是唯一的 - ？
何梵氨酚： 因为E是任意的.如果我们假设a,b不相等,即a与b的差值不为0,则我们设|a-b|=t,(t不等于0)则我们一定能找到一个E满足02E这样,式子|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|<=|xn - b|+|xn - a|<=E+E=2E即|a-b|=t<=2E就不能恒成立所以,假设错误,a必须等于b这样t=|a-b|=0,无论E取什么值均满足0=|a-b|<2E成立

凌源市17675234384： 数列和子数列的收敛性 - ？
何梵氨酚： 收敛数列,不可能有发散子列 证明如下 设 lim an = A那么对任意的e>0 存在N,当n>N时, |an - A| < e那么对an的子列 ak1 ak2 .... akn ...由于是子例 必然有 kn >= n ,所以有 当n>N时 kn >=n >N 由前文有 |akn -A| < e意思是子列也收敛,而且收敛于A证毕

凌源市17675234384： 什么是收敛数列? - ？
何梵氨酚： 设数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数ε(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有|Xn-a|<ε成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列.具有唯一性;有界性;保号性. 收敛数列与其子数列间的关系: 子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M 若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.来自知道团队:数学之美

凌源市17675234384： 如何证明“收敛数列的极限是唯一的”? - ？
何梵氨酚： 证明如下: 设lim xn = a,lim xn = b 当n > N1,|xn - a| < E 当n > N2,|xn - b| < E 取N = max {N1,N2}, 则当n > N时有 |a-b|=|(xn - b)-(xn - a)| 收敛数列定义:设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|. 收敛数列的性质:1. 如果数列收敛,那么它的极限唯一;2. 如果数列收敛,那么数列一定有界;3. 保号性;4. 与子数列的关系一致.发散的数列有可能有收敛的子数列.

凌源市17675234384： 如何讨论数列收敛性 - ？
何梵氨酚： 第一个: 用数学归纳法先证明单调递增 当n=1时,显然x[1]假设n=k时x[k]√(2x[k])=x[k+1], 从而对x∈N,x[n]再证明x[n]有界,由x[n+1]=√(2x[n])>x[n],则√x[n]从而知道x[n]单调有界,必有极限 令其极限为a,则有a=√(2a),解得a=2第二个: 由x[n]的表达式知道0那么单调有界必收敛,记极限为a 由表达式还可知道x[n+1]/(n+1)-x[n]/n=1/(n^2+(n+1π)), 两边取极限得a/(n+1)-a/n=0,解得a=0