与平面垂直的直线方程

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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过一点垂直于平面的直线方程怎么求
过一点垂直于平面的直线方程怎么求  我来答 1个回答 #热议# 哪些癌症可能会遗传给下一代?西域牛仔王4672747 2016-03-11 · 知道合伙人教育行家 西域牛仔王4672747 知道合伙人教育行家 采纳数:29973 获赞数:142302 毕业于河南师范大学计算数学专业,学士学位, 初、高中任教26年,发表论文8篇。 向TA提问...

高等数学 求垂直的平面方程 求解题过程
求垂直的平面方程解题过程如下：所求平面与直线垂直， 平面的法向量与直线平行，已知直线的方向向量是 (1, -3, -2), 即为平面的法向量，平面方程是 1(x-2)-3y-2(z+1) = 0, 即 x-3y-2z = 4。函数在使用过程中，并非所有参数都需要书写完整，可以根据实际需要省略某些参数，以达到缩短公式...

求过点M(1,2,3)且与平面2X+Y-3Z+5=0垂直的直线方程
先找直线的方向向量也就是平面的法向量（2，1，-3）(X-1)\/2=(Y-2)\/1=(Z-3)\/-3 平面为2x-3y+4z-5=0 那么n=(2,-3,4) 法向量等于直线的方向向量。解：∵平面2x-2y+3z=0的法向量是{2,-2,3} ∴所求直线的方向向量是{2,-2,3} ∵所求直线过点(1,-1,-2)∴所求直线方程...

过点(1,1,1)且与平面x-3y+z-1=0垂直的直线方程为
平面x-3y+z-1=0的法向量是a=(1,-3,1),它是过点(1,1,1)且与平面x-3y+z-1=0垂直的直线的方向向量，所以过点(1,1,1)且与平面x-3y+z-1=0垂直的直线方程是x-1=(y-1)\/(-3)=z-1.

过点(-3,-2,5)且与平面5x-2y+4z-7=0垂直的直线方程为
与平面垂直,直线的方向向量s,必须等于平面的法向量n 所以s=(5,-2,4)所以直线:(x+3)\/5=(y+2)\/(-2)=(z-5)\/4

如何由一条直线得到一个平面?
写出直线的一般方程A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(2) 应用平面束方程(过直线的几乎所有平面都可以这样表示)A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)根据两平面垂直的条件求出λ，得到(2)中的平面。(4)联立(3)中求得的平面方程和题中已知平面方程，即得所求投影直线方程...

直线和平面的方程是什么?
数学中的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。直线的投影特性是由其对投影面的相对位置决定的，按直线对投影面的相对位置，直线分为：（1）投影面垂直线：垂直于某一投影面的直线。（2）投影面平行线：平行于某一投影面的直线。（3）一般位置直线：对三个投影面均倾斜的直线...

...于一条直线x\/21=y\/87=z\/78,怎么求这个平面方程?
已知平面过一点A（x，y，z），并且垂直于一条直线x\/21=y\/87=z\/78,怎么求这个平面方程？解：因为只规定平面与一直线垂直，没有规定平面的其它条件（如规定平面过某定点），因此 这样的平面是很多的。已知直线x\/21=y\/87=z\/78是一条过原点的直线，其方向数为（21，87，78)，因此与其垂直的 平...

求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z+2=0垂直的直线方程,并求该线与平面的...
平面2x-3y+z+2=0的方向向量n(2，-3，1)直线方程：(x-1)\/2 = (y+2)\/-3 = (z-4)\/1 求交点 x-1=2t 解得t= -1 y+2=-3t x= -1 z-4=t y= 1 2x-3y+z+2=0

设一平面垂直于平面z=0,并通过从点(1,-1,1)到直线y-z+1=0,x=0的
解：平面z=0就是xoy平面，所求平面垂直于z=0，说明所求平面平行于z 轴(即垂直于xoy平面)。直线L：y-z+1=0，x=0，是在yoz平面内的一条直线；将其方程改写成标准形式就是：x\/0=(y+1)\/1=z\/1，其方向数为{0，1，1}；为了求出从点M(1，-1，1)到直线L的垂直线的方程，先 作一平...

闻炉13376019357问： 已知一平面和平面外一定点,怎么求过该定点且垂直于该平面的直线方程? - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] 平面ax+by+cz+d=0的法向量(a,b,c)与直线的方向向量平行.直线过点(x0,y0,z0),则直线的方程是(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c 一般教科书上都有的,关键是概念,概念理清楚了,就好做了

闻炉13376019357问： 求过点(1, - 2,4)且与平面2x - 3y+z - 4=0垂直的直线方程!我一同学是这么写的:因为所求平面垂直于已知平面所以取已知平面的法线向量(2, - 3,1)所以所求... - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] 很对呀.我也是这么做的.

闻炉13376019357问： 求过点(1, - 1,2)且垂直于平面2x+y - 2z+1=0的直线方程 - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] 平面法向量为 (2,1,-2),这也是直线的方向向量, 因此所求直线方程为 (x-1)/2=(y+1)/1=(z-2)/(-2) .

闻炉13376019357问： 求过点(1,1,0)且与平面2x - 3y+z - 2=0垂直的直线方程 - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] 求过点(1,1,0)且与平面2x-3y+z-2=0垂直的直线方程 平面2x-3y+z-2=0的法线矢量为{2,-3,1};过点(1,1,0)的直线垂直于该平面,因此平面 的法线矢量就是该直线的方向数,故直线方程为:(x-1)/2=(y-1)/(-3)=z.

闻炉13376019357问： 求过点( - 1,0,2)且垂直于平面2x - y+3z - 6=0的直线方程 - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] A(3,0,0),B(0,-6,0),C(0,0,2)分别为平面2x-y+3z-6=0与x,y,z轴的交点坐标. 直线BA的方向向量(1,2,0),直线BC的方向向量(0,3,1) 所求直线上的点为(x,y,z)则(x+1,y,z-2)为其方向向量 利用垂直条件可得数量积为零,即可得以下两式 x+2y+1=0与...

闻炉13376019357问： 过点(1,1,5)且垂直于平面2y - z=0的直线方程为 - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] 平面2y-z=0的一个法向量n=(0,2,-1) 因为所求的直线垂直于平面2y-z=0, 所以直线方程为 :I x=1 { I (y-1)/2=(z-5)/(-1)

闻炉13376019357问： 求过点(1. - 1.2)且与平面x - 3y+z - 4垂直的直线方程 - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] 平面:x - 3y + z - 4 = 0 的法向为 n = (1,-3,1).( 注:即x,y,z前面系数组成的向量 )目标直线与该平面垂直,即其方向向量为 n,过点(1,-1,2),根据点法式可以写出直线方程为:(x - 1) / 1 = -(y + 1) / 3 = (z - 2) / ...

闻炉13376019357问： 过点(3,1, - 2)且与平面 垂直的直线方程为5x+2y+z - 15=0垂直的直线方程为 .. - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] (x-3)/5=(y-1)/2=(z+3)/1

闻炉13376019357问： 求过原点且与平面3x - y+2z - 6=0垂直的直线方程 - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] 直线过点(0,0,0),方向向量为(3,-1,2),所以直线方程为x/3=-y=z/2

闻炉13376019357问： 一直线过点A(1,2),且与平面x - 2y+3z+5=0垂直,求此直线的方程. - ？
射阳县雷蒙回答：[答案] 太简单了,用“点向式”就可以了.平面的法向量就是直线的方向向量啊.所以,直线方程为 (x-1)/1=(y-1)/(-2)=(z-2)/3

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