与一个平面垂直的平面方程

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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一个平面如何同时垂直与两个不同的平面
两平面垂直的判定公式是一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。如果一个平面内任意点...

与一个平面垂直的面有几个?
这样的面有无数个

平面与平面垂直的判定方法
详情请查看视频回答

平面与平面垂直的性质定理
性质定理如下：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。4、如果两个平面互相垂直，...

平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定方法：1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂。2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一...

垂直于同一平面的两平面平行吗
不一定平行，如下图所示：ABC三个平面两两垂直，但都不平行。

平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定如下：1、证明二面角是90度；2、证明平面中的一条直线垂直于另一平面，则两平面垂直。如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直...

两个相互垂直的平面有什么性质
平面与平面垂直的性质定理：1、两个相互平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；2、两个相互平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内；3、两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面；4、三个两两垂直的平面的交线两两垂直...

面面垂直如何证明
2、定理法：如果一个平面内两条相交直线都垂直于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。3、面面垂直的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别垂直于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面相互垂直。4、垂直平面的性质定理：如果一个平面垂直于另一个平面，那么这个平面内的所有直线都垂直于另...

急!!!解释:过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个
①过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个。设L为平面α的斜线，取P∈L，过P作α的垂线L1.L与L1相交于P,确定平面β。β⊥α（β过L1）.L∈β.β为所求平面。假如γ也含L.γ⊥α.则P∈γ,过P的在γ内的向α与γ交线作的垂线也垂直α。但过P的α的垂线只有一条，即L1.所以...

毅毓14762549193问： 设一平面经过原点及点(6, - 3,2)且与平面4x - y+2z=8垂直,求此平面方程 - ？
太仓市欣能回答： 平面经过原点,设平面方程为Ax+By+Cz=0…① 平面的一个法向量为n=(A,B,C) 平面过点(6,-3,2),与平面4x-y+2z=8垂直 则有 6A-3B+2C=0 (A,B,C).(4,-1,2)=4A-B+2C=0 消去C,得A=B, C=-3A/2 设A=B=t,C=-3/2*t代入①中 tx+ty-3/2*tz=0 由于t不为0,消去t得 2x+2y-3z=0 上式即为所求的平面方程

毅毓14762549193问： 设平面过原点及点M(1,1,1),且与平面X - Y+Z=8垂直,求此平面方程 - ？
太仓市欣能回答： 向量OM=(1,1,1) 平面x-y+z=8 的法向量是(1,-1,1) 则(1,1,1)*(1,-1,1)=(2,0,-2)就是所求平面的一个法向量 平面过(0,0,0) 由点法式得:2·(x-0)+0·(y-0)-2·(z-0)=0 所以 平面方程是 x-z=0

毅毓14762549193问： 两个互相垂直的平面的一般方程的关系 - ？
太仓市欣能回答：[答案] 方程ax+by+cz+d=0 与方程a1x+b1y+c1z+d1=0 互相垂直:a1a+b1b+c1c=0

毅毓14762549193问： 一个平面过已知两点且与一已知平面垂直,怎么求这个平面方程……想了好久想不通求解 - ？
太仓市欣能回答： 1.如果2点连线与已知平面垂直,这个平面过连线,结果不唯一. 2.如果2点联系与已知平面不垂直,结果唯一. 其他知识点,已经忘了.

毅毓14762549193问： 求过直线X - 2=Y - 3=(Z - 4)/2且与平面2X+Y+Z - 6=0垂直的平面方程 - ？
太仓市欣能回答： 令:()/1=(y-3)/1=(z-4)/2=t 解出x=2+t,y=3+t,z=2t+4代入平面方程2x+y+z=0中得: 2(2+t)+3+t+2t+4=0 4+2t+3+t+2t+4=0 5t=-11 t=-5分之11 x=2+t=2-5分之11=-5分之1 y=3+t=3-5分之11=5分之4 z=2t+4=2*(-5分之11)+4=-5分之2 直线(x-2)/1=(y-3)/1=(z-4)/2与平面2x+y+z=0的交点为(-5分之1,5分之4,-5分之2)

毅毓14762549193问： 高等数学求平面方程!设一平面垂直于平面Z=0且通过直线x - 2y+z=2 2x+y - z= - 1求该平面的方程. - ？
太仓市欣能回答：[答案] 平面垂直于平面Z=0,则该平面方程可简化为y=ax+b 两平面的交线 x-2y+z=2 2x+y-z=-1,解得: x=z/5 y=(-5+3z)/5 知(0,-1,0)(1,2,5)在所求平面上,代入,求得平面方程为: y=3x-1

毅毓14762549193问： 平面与平面垂直的判定.出一道题谢谢 - ？
太仓市欣能回答： (1)定义法:如果两个平面所成的二面角为90°,那么这两个平面垂直(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(3)如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上,那么垂直(4)如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么其余平面均垂直这个平面(5)设两平面的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0,则A1A2+B1B2+C1C2=0为两平面垂直的充要条件.

毅毓14762549193问： 求经过点A(3,2,1)和B( - 1,2, - 3)且与坐标平面XOY垂直的平面方程 - ？
太仓市欣能回答：[答案] 由于平面垂直xoz坐标平面,则有形如A1x+C1z=D1的形式 由于过A(3,2,1),B(-1,2,-3)不过原点则D1≠0 从而可求(A1/D1)x+(C1/D1)z=1 代入A,B两点可以求得A1/D1=-1/2,C1/D1=1/2 故所求平面为x-z+2=0

毅毓14762549193问： 求过点P(1, - 1, - 1) Q(2,2,4)且与平面x+y - z=0垂直的平面方程 - ？
太仓市欣能回答：[答案] 这样的题一般都是用待定系数法. 设所求平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 , 则 A-B-C+D=0 (1) (P点代入满足) 2A+2B+4C+D=0 (2) (Q点代入满足) n1*n2=(A,B,C)*(1,1,-1)=A+B-C=0 (3) (两平面垂直,法向量也垂直) 解得 D=-6C,A=4C,B=-3C , 取A=4,B=...

毅毓14762549193问： 设一平面经过原点及点(6, - 3,2),且与平面4x - y+2z=8垂直,求此平面的方程? - ？
太仓市欣能回答：[答案] 设所求的平面方程为:ax+by+cz=0 则6a-3b+2c=0 ① 平面4x-y+2z=8的法向量n=(4,-1,2) 故4a-b+2c=0 ② 由①-②得: 2a-2b=0 a=b 把a=b代入①得: 6b-3b+2c=0 c=-3b/2 代入平面方程得: bx+by-3b/2 z=0 即x+y-3/2 z=0 答案:x+y-3/2 z=0

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