平面与平面垂直公式方程

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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证明面面垂直的方法及定理
面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。平面平行与平面垂直的知识点 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.(“线面平行，面面平行”...

如何理解两个平面互相垂直?
三点求平面可以取向量积为法线 任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0 两平面平行或重合相当于A1\/A2=B1\/B2=C1\/C2 点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)\/sqrt(A^2+B^2+C^2) 求解过程:面内外两点...

平面向量平行和垂直的公式
平面向量平行和垂直的公式如下：公式：a，b是两个向量。a=（a1，a2）b=（b1，b2）。a\/\/b：a1\/b1=a2\/b2或a1b1=a2b2或a=λb，λ是一个常数。a垂直b：a1b1+a2b2=0。平行向量的意思：方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量。向量a、b平行（共线），记作a∥b。零向量长度为零，...

线面垂直怎么证明
证明线面垂直公式：A1A2+B1B2=0。直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。垂直，是指一条线与另一条线成直角，这两条直线互相垂直。通常用符号“⊥”表示。设有两个向量a和...

立体几何公式总结(要求分成“线线平行与垂直”,“线面平行于垂直”,面...
线面平行→线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。线面平行→面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。面面平行→线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线线垂直...

平面与平面平行的判定定理
在空间中，到两点距离相同的点的轨迹。在中，平面公式为A*（x-x0）+B*（y-y0）+C*（z-z0）=0，其定义为与固定点（x0，y0，z0）的连线垂直于固定方向（A，B，C）的所有的点的集合。这两种定义在数学上是一致的。平面的基本性质如下：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条...

高等数学 求垂直的平面方程 求解题过程
求垂直的平面方程解题过程如下：所求平面与直线垂直， 平面的法向量与直线平行，已知直线的方向向量是 (1, -3, -2), 即为平面的法向量，平面方程是 1(x-2)-3y-2(z+1) = 0, 即 x-3y-2z = 4。函数在使用过程中，并非所有参数都需要书写完整，可以根据实际需要省略某些参数，以达到缩短公...

直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定方法 判定一条直线与一个平面是否垂直，可以通过检查直线上的向量与平面的法向量是否垂直。首先，找到直线上的任意两个点，并计算它们构成的向量。然后，计算平面的法向量。最后，计算直线上的向量与平面的法向量的点积。如果点积为零，则可以判定直线与平面垂直。具体步骤与计算公式 假...

求线面夹角和面面平面角的公式·用向量!
线面角:直线L与平面S相交于A点.在直线L上任取一点P,做垂线,垂直于平面,设垂足为B,连接AB,那么角PAB就是线面角 面面角:平面A和B相交于直线L,那么你可以在平面A和B上作两条直线L1和L2,使得L1垂直于L,L2垂直于L.那么L1和L2的夹角就是面面角.这两个角的计算.可以通过向量.直线经过A(X1,Y1...

直线与平面垂直的定义
直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。资料扩展：直线由无数个点构成，点动成线。直线是面的组成成分，并继而组成体。没有端点，向两端无限延伸，长度无法度量。直线是轴对称图形。它有无数条对称轴，对称轴为所有与它垂直的直线（有无数条）。在...

战旭19242125995问： 两平面垂直的条件公式 ？
丰满区藏茵回答： 两平面垂直的条件公式是:a1x+b1y+c1z+d1=0,垂直,是指一条线与另一条线成直角,这两条直线互相垂直,通常用符号“⊥”表示.设有两个向量a和b,a⊥b的充要条件是a·b=0,即(x1x2+y1y2)=0.对于立体几何中的垂直问题,主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题,而要解决相关的问题,其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解;两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解.

战旭19242125995问： 一个平面穿过坐标原点并垂直另两个已知平面,求该平面方程, - ？
丰满区藏茵回答：[答案] 用法向量垂直,点积 为0 的理论依据做!过原点则 D=0;加上垂直条件 AA1+BB1+CC1=0、 AA2+BB2+CC2=0 ,给一个参量赋合适的值,即可求出 A、B、C来.(A1、B1、C1;A2、B2、C2 是两个已知平面的法向量.)

战旭19242125995问： 一个平面过已知两点且与一已知平面垂直,怎么求这个平面方程……想了好久想不通求解 - ？
丰满区藏茵回答： 1.如果2点连线与已知平面垂直,这个平面过连线,结果不唯一. 2.如果2点联系与已知平面不垂直,结果唯一. 其他知识点,已经忘了.

战旭19242125995问： 高等数学求平面方程!设一平面垂直于平面Z=0且通过直线x - 2y+z=2 2x+y - z= - 1求该平面的方程. - ？
丰满区藏茵回答：[答案] 平面垂直于平面Z=0,则该平面方程可简化为y=ax+b 两平面的交线 x-2y+z=2 2x+y-z=-1,解得: x=z/5 y=(-5+3z)/5 知(0,-1,0)(1,2,5)在所求平面上,代入,求得平面方程为: y=3x-1

战旭19242125995问： 平面向量的垂直和平行公式 - ？
丰满区藏茵回答：[答案] 两个向量a,b平行:a=λb (b不是零向量);两个向量垂直:数量积为0,即 a•b=0 坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2) a//b当且仅当x1y2-x2y1=0 a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

战旭19242125995问： 求过点(1, - 1,1)且与两平面X - Y+Z=1 2X+Y+Z+1=0都垂直的平面方程? - ？
丰满区藏茵回答： 两个平面的法向量分别为 n1=(1,-1,1),n2=(2,1,1), 因此它们的交线的方向向量为 n1*n2=(-2,1,3), 这也是与两个平面都垂直的平面的法向量, 所以所求平面方程为 -2(x-1)+(y+1)+3(z-1)=0 ,化简得 2x-y-3z=0 .

战旭19242125995问： 设一平面经过原点及点(6, - 3,2),且与平面4x - y+2z=8垂直,求此平面的方程? - ？
丰满区藏茵回答：[答案] 设所求的平面方程为:ax+by+cz=0 则6a-3b+2c=0 ① 平面4x-y+2z=8的法向量n=(4,-1,2) 故4a-b+2c=0 ② 由①-②得: 2a-2b=0 a=b 把a=b代入①得: 6b-3b+2c=0 c=-3b/2 代入平面方程得: bx+by-3b/2 z=0 即x+y-3/2 z=0 答案:x+y-3/2 z=0

战旭19242125995问： 一平面垂直于平面z=0是什么意思 - ？
丰满区藏茵回答： 设一平面垂直于平面z=0,并通过从点(1,-1,1)到...展开敖玉兰骑辛TA获得超过3.7万个赞关注成为第54位粉丝设一平面垂直于z=0,并通过从点M(1,-1,1)到直线y-z+1=0,x=0的垂线,求此平面方程.解:平面z=0就是xoy平面,所求平面...

战旭19242125995问： 已知一平面和平面外一定点,怎么求过该定点且垂直于该平面的直线方程? - ？
丰满区藏茵回答：[答案] 平面ax+by+cz+d=0的法向量(a,b,c)与直线的方向向量平行.直线过点(x0,y0,z0),则直线的方程是(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c 一般教科书上都有的,关键是概念,概念理清楚了,就好做了

战旭19242125995问： 空间一点与空间两平面垂直的平面方程(1, - 2,4)x(3,5, - 2)=( - 16,14,11)的详解 - ？
丰满区藏茵回答：[答案] (1 ,-2 ,4)*(3 ,5 ,-2)=(|-2 4| ,|4 1| ,|1 -2|) 5 -2 -2 3 3 5 =((-2)*(-2)-4*5 ...

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