求关于一元二次方程组的应用 的题（必须有答案）

求一元二次方程应用题【带答案】~

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一元二次方程应用题及答案
1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
解：设这两个数分别是a和a+1. 根据题意列方程：a²+（a+1）²=25
整理得：a²+a-12=0 解得：a1=3 a2=-4
当a=3时，两个数分别是3和4 当a=-4时，两个数分别是-3和-4
2、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之积的 3倍刚好等于这个两位数。求这个两位数。
解：设个位数为x，则十位数为x-2 x（x-2）3=10（x-2）+x
3 a²2-17x+20=0 (3x-5)(x-4)=0 x=5/3（舍去）或x=4
则这两位数为24
3、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
解：设这个两位数个位数为x，则（10x+6-x）(10(6-x)+x) = 1008,
化简得到x ²-6x+8=0,所以x=2或4
面积问题
4、用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形，然 后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子，求X的值。
解：设小正方形的边长为X厘米
（80-2X）（60-2X）=1500 x² -70X+825=0
（X-15）（X-55）=0 X=15或X=55（不符合，舍去） X=15
5、如图，在长为32m，宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作实验田，要使试验田面积为570m2，道路的宽应为多少？
解：设宽度为xm， 640-(20*2*x+32*x)+2x^=570
x²-36x+35=0 （X-1）（X-35）=0
x=1 或 35(不合题意，舍去） x=1
增长率问题
6、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？
解：设增长率为x，则 32+32(1+x)+32(1+x)(1+x)=122
(4x-1)(4x+13)=0 x=0.25或-3.25(不合题意，舍去）
二月发行图书32(1+x)=40册 三月发行图书32(1+x)(1+x)=50册
7、某校2009年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2011年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？
解：设平均年增长率为X。则1+（1+X）+（1+X）（1+X）=4.75
x²+3x-1.75=0 (x-0.5)(x+3.5)=0
解得x=0.5或-3.5(不合题意，舍去） X=0.5=50%
销
（转自书利华教育网）

例1．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券低2个百分点，到期后某人的乙种债券可兑换人民币108元，求甲种债券的年利率。
　　分析：利息=本金×利率×存期
　　本息=本金+利息
　　甲种债券利息×（1+乙种债券利率）×存期=108
　　解：设甲种债券的年利率为x，依题意，甲种债券的利息为1000x元，乙种债券的年利率为x-0.02，则
　　1000x(1+x-0.02)=108
　　整理得：250x2+245x-27=0

　　(10x-1)(25x+27)=0

　　x1=0.1　　 x2=-

　　∵x2=-不合题意，舍去

　　∴x=0.1=10%

　　答：甲种债券的年利率为10%。

　　例2．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。
　　（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示）
　　（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：

月份
用电量（度）
交电费总数（元）

3月
80
25

4月
45
10

　　根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？
　　分析：本题是原于现实生活中的经济问题，情景熟悉，但问题有障碍，不能直接看出问题的答案，必须认真阅读和思考
问题（1）较简单，超过部分应交电费(90-A)元，问题（2），从表中看到，45<A<80，根据3月份用电80度，交电费25元，可列出方程：
　　10+(80-A)=25
　　整理得，A2-80A+1500=0
　　解得：A1=50　 A2=30
　　但A2=30<45，不合题意舍去
　　∴A=5
　　解略。

　　例3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
　　若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
　　解：设每件衬衫应降价x元，
　　由题意可得：
　　(40-x)(20+2x)=1200
　　整理，得x2-30x+200=0
　　x1=10　 x2=20
　　根据题意x=10不合题意，舍去　　　　
　　所以x=20
答：每件衬衫应降价20元。
　　说明：此题是一元二次方程在市场经济中的应用，利用已知条件，列方程，解方程都比较简单，但得出方程的根后，考查它们是否符合题意是个难点，已知中有“尽快减少库存”的要求，而每降低1元，则平均每天可售出2件，所以x=10，不合题意舍去。

　　例4．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。
　　（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
　　（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。
　　分析：此题是用数学知识解决简单的生产问题，这也是初中数学的教学目的。
　　第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间。
　　第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少 钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少。
　　解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成

　　由题意可得：　

　　解这个方程组得：　

经检验此解是所列方程组的解

　　答：甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成。

　　（2）设付给甲队一天a元，付给乙队一天b元，付给丙队一天c元

　　

　　解这个方程组得　　　　

　　

　　又∵规定时间要求不超过15天　　
　　∴不能用丙队，　　　　　　　　　　　　　
　　∵10a=8000（元）　　 15b=9750（元）
　　答：由甲队单独完成此工程花钱最少。

　　说明：数学教学新大纲中要求“能够运用所学知识解决简单的实际问题”。能够解决实际问题是指：能够解决带有实际意义和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题，展开交流，形成用数学解决实际问题的意识，以上四题就反映了新大纲要求，这种形式的问题频繁出现在近两年的中考试卷中，这应引起我们的重视。

　　例5．A、B两地间的路程为15千米，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲，乙两人同时到达B地？
　　分析：此题是行程问题，行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程，并且路程=速度×时间。此题若间接设元，设甲步行每小时走x千米，乙骑自行车每小时走(x+10)千米，又已知AB两地路程为15千米，则可利用甲乙所用的时间找等量关系。
　　解：设甲步行每小时走x千米，
　　则乙骑车每小时走(x+10)千米
　　由题意得：+1=
　　整理得：x2+25x-150=0
　　解这个方程得：x1=5,x2=-30
　　经检验：x1=5,x2=-30都是所列方程的根，
　　但x=-30不合题意舍去
　　∴x=5
　　这时 15÷5=3（小时）
　　答：上午9点整，甲、乙两人同时到达B地。

　　例6．甲、乙两车同时从A地出发，经过C地去B地，已知C、B相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B，求两车出发时速度？

　　分析：解决此题的关键是：从C地到B地，甲比乙多走半小时。

　　解：设乙速为x千米/时。

　　则甲速为(x+5)千米/时

　　 - =

　　整理得：x2+15x-1750=0

　　解这个方程：x1=35, x2=-50

　　经检验：x1=35,x2=-50都是所列方程的根

　　但x=-50不合题意，舍去

　　∴x=35

　　∴x+5=35+5=40

　　答：甲出发时速度为40千米/时，乙出发时速度为35千米/时。

　　例7．甲乙两人分别从A、B两地同时同向出发，甲经过B地后，再经过3小时12分在C地追上乙，这时两人所走的路程和为36千米，而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程，求A、B两地的距离？
　　分析：此题间接设元比较方便，如可设甲、乙两人速度分别为x千米/时，y千米/时，可以利用“两人所走的路程和为36千米”及“甲从A到C所用的时间与乙从B到C所用的时间相等”这两个等量关系建立方程组。

　　解：设甲速为x千米/时，乙速为y千米/时
　　则AC长5y千米，BC长为 x千米（3小时12分=小时）

　　AB长(5y-x)千米

　　由题意可得　

　　解这个方程组得：

　　经检验它们都是所列方程组的解
　　又∵　 不合题意舍去

　　∴ 　

　　∴　5y-x=5×4- =4

　　答：A、B两地长4千米。

测试

　　A组选择题（每小题20分）

　　1.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为
　　（A）50(1+x)2=175　　　　　　　　　 （B）50+50(1+x)2=175
　　（C）50(1+x)+50(1+x)2=175　　　　　 （D）50+50(1+x)+50(1+x)2=175

　　2.甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用五天，两队单独工作，各需要多少天完成？
　　若设甲队单独工作需要x天完成，则根据题意得到的方程是（　　 ）.

　 （A） =6 　　　　 （B）=6　 （C）6( )=1　　　 （D）=1

　　B组选择题（每小题30分）

　　1.某村有若干人准备用平均集资的方法筹集数万元开发小区，消息传出后，又有3位村民认为开发项目对头，申请参加，于是每人可少集资3000元；最后收款时，又增加1人，再次使每人的平均集资数减少600元，问该村开始时有多少人集资？共集资多少元？
　　解如下：设最初集资人数为x，每人平均集资y元，依题意，列出方程组：

　　解法一：

　　

　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　

　　解法三：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　

　　以上有三种解法，其中错误的是：
　 （A）解法一　　 （B）解法二　　　 （C）解法三　　 （D）都正确。

　　2.甲、乙两列车，分别从相距300千米的A、B两车站同时相向出发，相遇后，甲车再经过4小时到B站，乙车再经过9小时到A站，求甲、乙各车的速度。

　　解法一：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，根据题意，得：

　　

　　解法二：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，
　　根据甲乙两车相遇时间相等，而相遇后至停止相差9-4=5小时，亦为全程时间差为5小时，据此得方程：

　　

　　解法三：间接设未知数，设相遇时，甲、乙各行了x小时。

　　根据题设得方程：×4+ ×9=300

　　即 +=1，

　　得x2=36, x=±6 (-6不合题意，舍去。)

　　所以v甲==30（千米/小时），

　　v乙==20（千米/小时），

　　以上解法正确的有：
　 （A）一种　 （B）两种　 （C）三种　 （D）没有正确解法。

答案与解析

　　A组答案：1、D　　　 2、C　　　 B组答案：1、C　　　 2、C

　　B组解析：

　　1、解题策略：一是按有关的几个基本量列表，未知数用相应的字母代替，可有助于理清题意，如：

　　集资人数
　　平均集资数
　　总额

　　开始时
　　x
　　y
　　z

　　第一次增人后
　　x+3
　　y-3000
　　z

　　第二次增人后
　　x+4
　　y-3000-600
　　z

　　二是根据出入相补原理：原来集资每人减少总额（出），由新增集资人承担（入）。

　　解法一：设最初集资人数为x，每人平均集资y元，依题意，列出方程组：

　　

　　解之得：

　　所以 z=xy=54000（元）。

　　答：原来有6人集资，出集资5.4万元。

　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　

　　第三种解法错误，注意题中“再次使每人的平均集资数减少600元”是指在减少3000元的基础上再减少600元，实为减少3600元，不能理解为2400元。

　　2．解题策略：画出分析图，是解行程问题的有效办法。

　　　

　　利用不同线条区分不同速度的运动体是个好办法，便于弄清题目的条件。
　　解法一：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，根据题意，得：

　　

　　由(2)得 9y2=4x2,

　　3y=2x　 （因x,y 都是正的，故舍去负的）。

　　解得：

　　经检验，这个解满足题设要求。

　　答：甲车速度为30千米/小时，乙车速度为20千米/小时。

　　解法二：如上所述，根据甲乙两车相遇时间相等，而相遇后至停止相差9-4=5小时，亦为全程时间差为5小时，据此得方程：

　　　　（以下略）。

　　解法三：间接设未知数，设相遇时，甲、乙各行了x小时。

　　根据题设得方程：×4+ ×9=300

　　即 +=1，

　　得x2=36, x=±6 (-6不合题意，舍去。)

　　所以v甲==30（千米/小时），

　　v乙==20（千米/小时）。

　　以上三种解法都正确。

列方程解应用题

　　考点
　　1．会列出方程或方程组解应用题。
　　2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

　　考题评析　　
　　1．（广州市）某商场销售商品收入款，3月份为25万元，5月份为36万元，该商场这两个月销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？
　　考点：一元二次方程的应用
　　评析：首先用3月份收入款及增长率（x）表示5月份的收入款根据5月份的实际额列方程25(1+x)2=36。
　　答案：20%
　　注：（1）解一元二次方程要求出两解，根据实际再取舍。
　　（2）结果要化成百分数的形式。
　　2．（成都市）某科技公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%，该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。
　　考点：一元二次方程的应用。
　　评析：两年后的产值是列方程的难点，也是此题的难点，即两年后的产值为本息和加盈利[200（1+8%）+72]，由题意不难列出方程200(1+x)2=72+200(1+8%)，(x为所求百分数)。
　　解：设这个百分数为x。
　　依题意，列出方程为　 200(1+x)2=72+200(1+8%)。
　　化简，得200(1+x)2=288，
　　即(1+x)2=1.44。
　　解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）。
　　答：该公司资金增长的百分数为20%。　

　　3．（昆明）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善昆明市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同。
　　（1）求每期减少的百分率是多少？
　　（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问两期治理完成后共需投入多少万元？
　　解：（1）设每期减少的百分率为x.　　　　　　1分
　　据题意，得：450(1-x)2=288　　　　　　3
　　(1-x)2=0.64
　　解得：x=1±0.8
　　∴ x1=0.2, x2=1.8(不合题意，舍去)　　　　　　5分
　　∴每期减少的百分率为20%。
　　（2）∵ 450·(1-20%)=360
　　∴第一期减少的废气450-360=90（万立方米）　　　　　　6分
　　又∵第二期减少的废气360-288=72（万立方米）　　　　　　7分
　　则共需投入3×90+4.5×72=594（万元）　　　　　　8分
　　答：（1）每期减少的百分率为20%，（2）两期治理完成后共需投入594万元　　　　　　9分

　　4．（辽宁省）列方程解应用题：
　　某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他比第一次多买了10件，这样，第二次共花去2元，且第二次买的小商品恰好成打，问他第一次买的小商品是多少件？
　　考点：列分式方程解应用题
　　评析：思路：设第一次买的小商品为x件，则第二次为（x+10）件分别表示出每件的价格，两次的价格差即为每件小商品所降的价格，列出分式方程，可解决此题。
　　说明：求出未知数的值，必须检验，不但使方程成立，还必须符合实际。
　　解：设他第一次买的小商品为x件.
　　根据题意,得
　　
　　去分母,整理得x2-35x-750=0.
　　解得x1=50,x2=-15.
　　经检验x1=50,x2=-15都是原方程的根.
　　但x=-15不合题意,舍去,所以只取x=50.
　　答:他第一次买小商品50件.

　　5．（北京市海淀区）列方程或方程组解应用题：
　　为了响应节水号召，小红家要使200m3的水比过去多用5个月，计划每月比过去少用水2m3，问小红家计划每月用多少水？
　　考点：列方程（组）解应用题。
　　评析：列方程（或组）解应用题的关系是通过审题，找到等量关系，设未知数列方程（组）就容易了，(其中x为原来每天的用水量)x=10m3，所以计划每月的用水量为8m3。

　　6．（山西省）列方程解应用题：
　　A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发，开往B地，2小时后，又从A地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两种车的速度。
　　解： 设公共汽车的速度为x千米/时,则小汽车速度为3x千米/时
　　依题意,得.　　
　　解之,得x=20
　　经检验:x=20是所列方程的解, ∴3x=60
　　答：公共汽车速度为20千米/时,小汽车速度为60千米/时。

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国购锁阳：[答案] 设一个暖瓶x元,则一个水杯为y元,根据题意得: x+y=382x+3y=84, 解得: x=30y=8. 答:一个暖瓶30元,一个水杯8元.

东山区14739352382： 求一元二次方程的应用题 - ？
国购锁阳： 1.某种植物的主干长出若干树木的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分支,主干、枝干和小分支共73,每个枝干长出多少小分支? 2.两个数的和为8,积为9.75,求这两个数. 3.一个两位数,个位数字与十位数字之和为5,把个位数字与十位数字对调,所得的两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数. 4.某校举行篮球比赛,每个队赛两场,共赛90场,问有多少球队参赛?5.小丽的叔叔分别用900元和1200元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品,已知乙地商品比甲地商品每件便宜3元,当他按每件20元销售完时,可赚1100元.小丽的叔叔从甲乙两地分别购进这种商品多少件?