怎么解决一元二次方程应用题

一元二次方程应用题解题方法（技巧）~

列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”、“设”、“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次议程应用题的难点所在，我认为可以采取如下方式探寻等量关系。首先要正确熟练地作语言与式子的互化；其次充分运用题目中的所给的条件；再次要善于发现利用间接的，潜在的等量关系；最后对一般应用题，可以利用关键语句、公式、定理等方面寻找相等关系。举例如下：一、数字问题解这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。例1，一个两数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的两位数与原来的两位的乘积为736，求原来的两位数。等量关系：新的两位数×原来的两位数解：由题意得：[10x+（5-x）][10（5-x）+x]=736解得：x1=2，x2=3即两位数为23或32二、几何问题这类问题要结合几何图形的、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合知识检验。例2：已知一直角三角形三边长为三个连续偶数，试求这个三解形三边长及面积。通常用勾股定理列出方程，求解。解，设直角三角形三边为n、n+2、n+4（n为偶数），根据题意得 n2+（n+2）2=（n+4）2解得 ：n=6 ∴三边长为6、8、10，面积为24。三、增长率问题此类问题中一般有变化前的基础（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b），这四者之间的关系可用公式a（1+x）n=b表示 这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语“译”出。例3：某企业去年对m产品的生产投资为2万元，预计今明两件的投资总额为12万元，求该企业这两两年在m产品投资上的平均增长率是多少？解：设这两个在m产品投资上的平均增长率为x，根据题意得2（1+x）+2（1+x）2=12解得：x1=1 x2=4（舍去）即该企业这两年在m产品上的平均增长率为100%。四、估测型问题这类问题要结合生活经验，生产实际情况及合理运算后作出大胆的估测。例4：读诗词解题[列出方程式，并估算周瑜去世时的年龄]大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数。十位恪小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？分析：由题意“则立之年督东吴”可估计周瑜年龄就在30-50之间。解，设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为（x-3）。依题意得x2=10（x-3）+xx2-11x+30=0由题意可知：x-3在3，4之间选择，则x为6或7。当x=6时，年龄为36，符合“个位平方与寿符”。当x=7时，年龄为47，不符合题意。故周瑜去世时年龄为36岁。五、买卖问题这类问题要考虑购买物品的数量与价格例5：小王从店买回一块矩形铁皮，他将矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个窖为15m3的无盖长方体箱子，且此箱子底面长比多2m，现已知购买这种铁皮每玉米需20元钱。问小王购回这块矩形铁皮花了多少钱？本题的展开图是矩形，其实质是先求展开图面积。解：设这种无盖箱子底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意得x（x+1）×1=15解得：x1=3，x2=-5（舍去）面积为：（5+2）（3+2）=35（m2）做一个这样的箱子要花35×20==700元钱。六、方案设计问题这类问题常规根据题中的条件，联想应用相关知识计算，对结果与实际要求，已知法则、定理对照作出判断。例6：如图有长为24m的篱笆，一面用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。（1）如果花圃的面积为42m2，求花圃的宽AB的长。（2）花圃的面积能围成45m2吗？如果能，请求出这时花圃的宽AB的长，若不能，请说明理由。（3）花圃的面积能围成48m2吗？若不能，请求出这时花圃的宽AB的长；若不能，说明理由。解：设宽AB=xm，则BC=（24-3x）m，依题意得（1）x（24-3x）=42。解得x1=4+2 ,x2=4-2当x=4-2时，BC=24-3（4-2）=12+3 2（不合题意。舍去）∴AB=（4+2）m（2）x（24-3x）=45，解得x1=5，x2=3当x=3时，BC=24-3×3=15＞10（舍去）
∴AB=5m（3）x（24-3x）=48，解得x1=x2=4此时BC=24-3x=12＞10，舍去，故不能围成

一元二次方程应用的话，也就这几种类型了。。。方法掌握了，怎么变都不怕。
一、增长率问题
例1　恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
解　设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，
即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.
答　这两个月的平均增长率是10%.
说明　这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.
二、商品定价
例2　益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
解　根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，
解这个方程，得a1＝25，a2＝31.
因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.
答　需要进货100件，每件商品应定价25元.
说明　商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
三、储蓄问题
例3　王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
解　设第一次存款时的年利率为x.
则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.
解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.
答　第一次存款的年利率约是2.04%.
说明　这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.
四、趣味问题
例4　一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
解　设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.
则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.
解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.
所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.
答　渠道的上口宽2.5m，渠深1m.
说明　求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
五、古诗问题
例5　读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解　设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答　周瑜去世的年龄为36岁.
说明　本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.
六、象棋比赛
例6　象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解　设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.
答　参加比赛的选手共有45人.
说明　类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.
七、情景对话
例7　春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解　设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.
则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.
整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.
当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；
当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.



说明　求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.

八、等积变形
例8　将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.
解　都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，
解这个方程，得x＝，即x≈6.6.
（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.
说明　等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.
九、动态几何问题
例9　如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
解　因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
说明　本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.
十、梯子问题
例10　一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
解　依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.
（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.
则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，
解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），
所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.
（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.
则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.
解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.
所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.
（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.
则根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，
解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.
所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.
说明　求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
十一、航海问题
例11　如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）
解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.
解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+（不合题意，舍去）.
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.
说明　求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
十二、图表信息
例12　如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.
请你认真观察思考后回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长n23456
使用的纸片张数
（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.
①当n＝2时，求S1∶S2的值；
②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.
（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.
①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.
所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.
②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，
解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.
所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.
说明　求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.
十三、探索在在问题
例13　将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.
则根据题意，得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，
当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，
答　这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.
（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.
说明　本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.
十四、平分几何图形的周长与面积问题
例14　如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.
则可得，FG＝×4，
所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.
（2）存在.由（1）得－x2+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，舍去），
所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.
（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2，
即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x2+x＝，
整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，
所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.
说明　求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.
十五、利用图形探索规律
例15　在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长1357…n（奇数）
黑色小正方形个数…

正方形边长2468…n（偶数）
黑色小正方形个数…
（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.
解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.
（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.
说明　本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.
综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解

法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解为x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=

当b2-4ac≥0时，x+ =±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项

系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解为x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个

根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小结：

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般

形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式

法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程

是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方

法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

例5．用适当的方法解下列方程。(选学）

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0

（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差

公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。

（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。

（3）化成一般形式后利用公式法解。

（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。

（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

（2）解： x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3，x2=1

（3）解：x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=

∴x1=,x2=

（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）

分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我

们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方

法）

解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0

解：x2+px+q=0可变形为

x2+px=-q (常数项移到方程右边)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)

(x+)2= (配方)

当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。

说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母

取值的要求，必要时进行分类讨论。

练习：

（一）用适当的方法解下列方程：

1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

（二）解下列关于x的方程

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0

练习参考答案：

（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2

3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=

6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

即 (2x+9)(2x+2)=0

∴2x+9=0或2x+2=0

∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0

∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是

原方程的解。 原方程的解。

测试

选择题

1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）

A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5

2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。

A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7

3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个

根是（ ）。

A、0 B、1 C、-1 D、±1

4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。

A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0

C、b=0且c=0 D、c=0

5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。

A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5

6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。

A、 B、 C、 D、无实根

7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。

A、x= B、x=-

C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-

8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。

A、(x-)2= B、(x- )2=-

C、(x- )2= D、以上答案都不对

9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。

A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1

答案与解析

答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D

解析：

1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,

注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。

2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.

3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1

时，方程成立，则必有根为x=1。

4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零，

则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0.

另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！

5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0,

则(x-5)(x+2)=0

x-5=0 或x+2=0

x1=5, x2=-2.

6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。

7．分析：2x2=0.15

x2=

x=±

注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。

8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，

整理为：(x-)2=

方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。

9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1

则(x-1)2=m+1.

中考解析

考题评析

1．（甘肃省）方程的根是（ ）

（A） （B） （C） 或 （D） 或

评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确

选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元

二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为

C。

另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。

2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。

评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。

3．（辽宁省）方程的根为（ ）

（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1

评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、

B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。

4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。

评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。

5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）

（A）x=3+2 （B）x=3-2

（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2

评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方

根，即可选出答案。

课外拓展

一元二次方程

一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二

次的整式方程。 一般形式为

ax2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它

的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次

方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。

埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。

在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。

希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中

之一。

公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公

式。

在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种

不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成

不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次

给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的

数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。

韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。

我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学

家还在方程的研究中应用了内插法。

1．一元二次方程的定义

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 (a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式

我们把 (a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0，b、c可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项． (a≠0)， (a≠0)， (a≠0)都为一元二次方程．

3．一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有四种：(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)配方法；(4)公式法．要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程．

4．一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式为 ．

△>0 方程有两个不相等的实数根．

△＝0 方程有两个相等的实数根．

△<0 方程没有实数根．

上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．

5．一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程 (a≠0)的两个根是 ，那么 ．

6．解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

(3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值；

(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．

【解题思想】

1．转化思想

转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．

运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．

2．从特殊到一般的思想

从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．

3．分类讨论的思想

一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．

【经典例题精讲】

1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．

2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．

3．一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．

4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

什么是指数?系数？（具体点）
如何解2元一次方程组？和2元一次方程？（写清步骤）
2.4x＋y＝25写清所有步骤

答 ：指数:未知数前的数字如:5X,5就是系数
指数:未知数右上角的数字如:X的3次方,3就是X的指数
2.4x＋y＝25这个2元一次方程解不出来.
解解2元一次方程组的时候,把方程组两个式其中的一个把一个未知数用关系式表示出来,再代入方程组的另一个式就可以得到一个方程组的值.最后,把一个未知数的值代入方程组的一个式就可以得到另一个未知数了.

ax^2+bx+c=0
求根公式：
x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

解一元二次方程有几种方法,要看题目给你甚麼条件
ax^2+bx+c=0
1)求根公式
x=[-b±根号(b^2-4ac)]/2a
2)韦达定理
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
3)因式分解
将方程分为(x-m)(x-n)=0
解得x=m或x=n

ax^2+bx+c=0 求根公式：x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
注意分清楚a、b、c的值！特别是符号
还有用公式法最有效，所有一元二次方程都适用~
加油喔~

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鼎湖区15075977455： 列一元二次方程解应用题的一般步骤 - ？
叶褚阿奇： 列一元二次方程解应用题的一般步骤如下: (1)审题:读懂题目,审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系 (2)设元:就是设未知数,根据题意,选择适当的未知量 ,并用字母(X)表示出来,设元又分直接设元和间接设元 (3)列方程:根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的一元二次方程 (4)解方程:求出所列方程的解 (5)验根:检验未知数的值是否符合题意 (6)写出答案

鼎湖区15075977455： 一元二次方程怎样解应用题 - ？
叶褚阿奇： 1.一元二次方程的定义 一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 (a≠0)的形式,则这...

鼎湖区15075977455： 怎样解一元二次方程的应用题? - ？
叶褚阿奇： 1、巧设未知数2、写出每个因式,理清各个因式之间的关系3、根据难度系数确定方程的简易程度4、将所有因式进行关系对应5、列出方程6、解方程7、答

鼎湖区15075977455： 一元2次方程的应用题怎么做? - ？
叶褚阿奇： 一元二次方程的应用题,基本上以面积为主的和以平均增长率为主的两种类型.对于第一种,只需记熟面积公式就可以了;对于第二种,只需a(1+平均增长率)^2=b即可.

鼎湖区15075977455： 初中数学我老是不会一元二次方程的应用题怎么办? - ？
叶褚阿奇： 一样二次方程对于初中很重要,对于高中也很重要,所以一定要学会.给你以下几个建议 1. 一定要学会公式法和十字相乘法,学会着两个方法,初高中基本可以应对,尤其是十字相乘法很方便,很实用.(而且高中可以说就是用这两个) 2. 做...

鼎湖区15075977455： 不会分析一元二次方程的应用题怎么办 - ？
叶褚阿奇： 你可以照书上那个所举的办法,第一先分析数量关系,然后找到等量关系,确定未知数,(是在不行就列一下各种量之间的关系式)列出方程,解答.应用题应检验看是否符合题意.刚开始还不熟练是正常的,多做一些就会习惯.一元二次方程应用题很简单,等学到二次函数时会有鲜明的特点,不用太担心,一开始不要追求速度,正确率先保证,另外很有效但是细水长流的一个办法:提高语文水平加强语感,对题目的理解就会非常轻松,可以直接得出关系...加油,别放弃哦!

鼎湖区15075977455： 怎么样才能快速学会解一元二次方程应用题 - ？
叶褚阿奇：[答案] 你可以照书上那个所举的办法,第一先分析数量关系,然后找到等量关系,确定未知数,(是在不行就列一下各种量之间的关系式)列出方程,应用题应检验看是否符合题意.刚开始还不熟练是正常的,多做一些就会习惯.一元二次方程应用题很简单...

鼎湖区15075977455： 一元二次方程解应用题的步骤是什么? - ？
叶褚阿奇： 1.设出未知数;2.根据题目等量关系列出方程;3.解方程4.写出答案.

鼎湖区15075977455： 怎么做一元二次方程应用题 - ？
叶褚阿奇： 一元二次方程应用的话,也就这几种类型了...方法掌握了,怎么变都不怕. 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销...

鼎湖区15075977455： 一元二次方程的应用题解答 - ？
叶褚阿奇： 1、解设涨价x元 解设涨价x元 (10-8+x)(200-x÷0.5*10)=700 整理得:-x²+8x-15=0 (x-3)(x-5)=0 x1=3 x3=510+3=13元 10+5=15元 答当定价为13元或者是15元时每天利润为700元.2、解设涨价x元,每天利润为y元 则:y=(10-8+x)(200-x÷0.5*10) 整理得:y= -20x²+160x+400 当x= -160/(-20*2)=4时,y有最大值,为720 则当每天定价为4+10=14元时,每天利润最大,为720元