已知数列{an}满足a1=1,a2=2,a(n+2)=(an+a(n+1))/2. (1)bn=a(n+1)-an,证明:{bn}是等比数列 ...
证明 令bn=a(n+1)-an
2a(n+2)=an+a(n+1)
∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)=-[a(n+1)-an]
bn=a(n+1)-an, ∴2b(n+1)=-bn, 即b(n+1)/bn=-1/2
∴{bn}是等比数列
b1=a2-a1=2-1=1, {bn}是首项为1,公比为-1/2的等比数列
∴bn=1*(-1/2)^(n-1)
∴a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)
∴an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2),
a(n-1)-a(n-1)=(-1/2)^(n-3)
……
a2-a1=(-1/2)^0
上面各式叠加得 an-a1=(-1/2)^0+……+(-1/2)^(n-3)+(-1/2)^(n-2)
=[1-(-1/2)^(n-1)]/(1+1/2)=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]
∴an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=5/3-(2/3)*(-1/2)^(n-1)=5/3+(1/3)*(-1/2)^(n-2)
a(n+2)=[an十a(n+1)]/2=a(n+2)-a(n+1)=[an-a(n+1)]/2
化b(n+1)=-1/2*bn(因bn=a(n+1)-an)
{bn}等比数列，b1=1,公比-1/2
则bn=(-1/2)^(n-1)
得an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)
……
n-1式子累加an=5/3-2[(-1/2)^(n-1)]/3
即有b(n+1)=bn*1/2
b(n+1)/bn=1/2
所以,{bn}是一个首项是a2-a1=1,公比是1/2的等比数列.
(2)bn=1*(1/2)^(n-1)
即有a(n+1)-an=(1/2)^(n-1)
an-a(n-1)=(1/2)^(n-2)
....
a2-a1=(1/2)^0
以上各式相加得:
an-a1=(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-3)+...+(1/2)^0=1*(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)=2(1-(1/2)^(n-1))=2-4*(1/2)^n
故an=a1+2-4*(1/2)^n=3-4*(1/2)^n
1.
a(n+2)=[an+a(n+1)]/2
2a(n+2)=an+a(n+1)
2a(n+2)-2a(n+1)=-a(n+1)+an
[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an]=-1/2，为定值。
a2-a1=2-1=1
数列{a(n+1)-an}是以1为首项，-1/2为公比的等比数列。
又bn=a(n+1)-an
数列{bn}是以1为首项，-1/2为公比的等比数列。
(2)
a(n+1)-an=1×(-1/2)^(n-1)=(-1/2)^(n-1)
an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=(-1/2)^(n-3)
…………
a2-a1=(-1/2)^0
累加
an-a1=(-1/2)^0+(-1/2)^1+...+(-1/2)^(n-2)=1×[1-(-1/2)^(n-1)]/[1-(-1/2)]=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]
an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]
=1+2/3 -2×(-1)^(n-1)/[3×2^(n-1)]
=5/3 +(-1)^n/[3×2^(n-2)]
n=1时，a1=5/3 -1/[3×2^(1-2)]=5/3-2/3=1，同样满足。
n=2时，a2=5/3 +1/[3×2^(2-2)]=5/3+1/3=6/3=2，同样满足。
综上，得数列{an}的通项公式为an=5/3 +(-1)^n/[3×2^(n-2)]
解
见图
算的急，你再仔细检查一下
已知数列{αn}满足a0=7,a1=10,且2an+1一3an十an-1=0,则lim(n→∞)
方法如下，请作参考，先化成等比数列：an=13 求等比数列和：
已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+3,求{an}的通项公式。
解：因为a(n+1)=2an+3故：a(n+1)+3=2（an+3）故；[a(n+1)+3]\/ （an+3）=2故：(a2+3)\/(a1+3)=2(a3+3)\/(a2+3)=2(a4+3)\/(a3+3)=2……（an+3）\/[a(n-1)+3]=2左右两边相乘：（an+3）\/(a1+3)=2^(n-1)因为a1=3故：an+3=3×2^n故：an=3×2^n-3 ...
设数列{an}满足 ,(n∈N﹡),且 ,则数列{an}的通项公式为 .
试题分析：因为 ，两边同除以 ，得 ，令 ，则 ，所以 ，以上n-1个式子相加，得 ，即 ，所以 。点评：若已知的递推式形如 求数列的通项公式，常用的方法是：等式的两边同除以 ，构造新数列，然后用累加法。
已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…(n-1)an-1(n>=2)则{an}的通...
解当n=2时a2=（2-1）a1=1 当(n>=3)时 由an=a1+2a2+3a3+…(n-1)an-1...① 则a（n+1）=a1+2a2+3a3+…(n-1)an-1+nan ...② 两式相减②-① 得a（n+1）-an=nan (n>=3)即a（n+1）=（n+1）an 即 a4=3a3 a5=4a4 ...a（n-1）=（n-1）a（n-2)an=na（n...
已知数列{an}满足an+2=5an+1-6an,a1=-1,a2=2,求数列{an}的通项公式
由a(n+2)=5a(n+1)-6an得a(n+2)-3a(n+1)=2[(a(n+1)-3an]于是数列{a(n+1)-3an}是以a2-3a1=5为首项,2为公比的等比数列所以a(n+1)-3an=5*2^(n-1)在上式两边同除以3^(n+1)得a(n+1)\/3^(n+1)-an\/3^n=5\/9(2\/3)^(n-1)设bn=an\/...
已知数列{an}满足,a1=1,a2=2,an+2=(an十an+1)\/2,n∈N,求{an}的通项公...
所以an通项公式为A×1^n+B×(-1\/2)^n A,B为待定系数 a1=A-B\/2=1 a2=A+B\/4=2 得 A=5\/3 B=4\/3 an=[5+4×(-1\/2)^n]\/3 若没有学过特征方程，可如下转换 a[n+2]-a[n+1]=-(a[n+1]-a[n])\/2 等比数列 所以a[n+2]-a[n+1]=（-1\/2）^n (...
已知数列{an}满足an+2=5an+1-6an,a1=-1,a2=2,求数列{an}的通项公式
2\/3)²+...+(2\/3)^(n-2)]bn-b1=(5\/3)[1-(2\/3)^(n-1)]b1=a1\/3=-1\/3 即bn=-1\/3+(5\/3)[1-(2\/3)^(n-1)]bn=4\/3-(5\/3)(2\/3)^(n-1)an=3^nbn=4*3^(n-1)-5*2^(n-1)所以数列{an}的通项公式是an=4*3^(n-1)-5*2^(n-1)...
已知数列{an}满足a1=1且an+1=2an+1 ()求证:数列{an+1}为等比数列...
1.a(n+1)=2an +1 a(n+1)+1=2an +2=2(an +1)[a(n+1)+1]\/(an +1)=2，为定值。a1 +1=1+1=2 数列{an +1}是以2为首项，2为公比的等比数列。2.an +1=2×2^(n-1)=2^n an=2^n -1 n=1时，a1=2-1=1，同样满足。数列{an}的通项公式为an=2^n -1 ...
已知数列{an}满足an+1+3an=0,且a1=3,则它的通项公式是什么
an+1+3an=0 an+1=-3an 所以公比是 q=-3 an=a1×q^(n-1)=3×3^(n-1)=3^n 所以通项公式 是 an=3^n
已知数列{an}满足a1=1\/3,a2=7\/9,an+2=4\/3an+1-1\/3an (1)求{an}的通...
a(n+2)-a(n+1)=(1\/3)[a(n+1)-a(n)],{a(n+1)-a(n)}是首项为a(2)-a(1)=7\/9 - 1\/3 = 4\/9,公比为(1\/3)的等比数列.a(n+1)-a(n) = (4\/9)(1\/3)^(n-1) = 4\/3^(n+1),a(n+1)3^(n+1) = 3a(n)3^(n) + 4,2+a(n+1)3^(n+1) = 3[2 ...
局解拉米： 因为数列{an}满足a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,展开全部 a3=a2+a1=1+1=2,a4=a3+a2=2+1=3,a5=a4+a3=3+2=5,a6=a5+a4=5+3=8. 故答案为:8
安居区18312501415： 已知数列an满足a1=1,a2 - ？
局解拉米： A1 = 1,A2 = 3,A3 = A2-A1 = 2,A4 = A3-A2 = 2-3 = -1,A5 = -3,A6 = -2,A7 = 1,A8 = 3 ... BR p> 发现每6年的周期.并且有α1+α2+ ... + A6 = 0 6分之102= 17 因此,S102 = S6 = 0
安居区18312501415： 高考福建卷 已知数列{an}满足a1=1,a2=3,a(n+2)=3a(n+1) - 2an - ？
局解拉米： (1)a(n+2)=3a(n+1)-2an 所以a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an] 所以数列{a(n+1)-an}是以2为首项 2为公比的等比数列 (2)所以a(n+1)-an=2ˇn +an-a(n-1)=2ˇ(n-1) + + + a2-a1=2 ∴an-a1=2ˇn-2 ∴an=2ˇn-1 谢谢采纳
安居区18312501415： 已知数列{an}满足a1=1,a2=2 - ？
局解拉米： 解:a3=a2/a1a4=a3/a2=1/a1a5=a4/a3=(1/a1)/(a2/a1)=1/a2a6=a5/a4=(1/a2)/(1/a1)=a1/a2a7=a6/a5=(a1/a2)/(1/a2)=a1a8=a7/a6=a2.....可以推导 a(n+6)=an an是以6为周期的数列.所以 a2013=a(335*6+3)=a3 =a2/a1=2/1=2望采纳
安居区18312501415： 已知数列an满足:a1=1,a2=a(a>0),数列bn满足bn=anan+1(n∈N*), 若a - ？
局解拉米： 因为数列an满足:a1=1,a2=a 且an是等差数列 所以公差d=a2-a1=a-1 所以a3=a2+d=2a-1 a4=a3+d=3a-2 又因为bn=ana(n+1) 而b3=12 所以b3=a3a4=(2a-1)(3a-2)=6a^2-7a+2=12 所以6a^2-7a-10=0 所以(6a+5)(a-2)=0 所以a=2或者a=-5/6 因为a>0 所以a=2 所以{an}的公差d=1 {an}的通项公式是an=n {bn}的通项公式是bn=n(n+1)=n^2+n
安居区18312501415： 已知数列an满足a1=1,a2=4.an+2+2an=3an+1 - ？
局解拉米：[答案] 由an+2+2an-3an+1=0 得an+2-an+1=2(an+1-an), ∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项,公比为2的等比数列 ∴an+1-an=3·2n-1, ∴n≥2时,an-an-1=3·2n-2,…,a3-a2=3·2,a2-a1=3, 累加得an-a1=3·2n-2+…+3·2+3=3(2n-1-1), ∴an=3·2n-1-2...
安居区18312501415： 已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(an+an+1)/2,n∈N+ - ？
局解拉米： 1.2(an+2)=an+an+1,2(an+2)-2(an+1)=an-an+1,bn+1=-1/2*bn,故{bn}为首项为b1=a2-a1=1,公比为-1/2的等比数列 2.bn=(-1/2)^(n-1) an=[an-(an-1)]+[(an-1)-(an-2)]+.....+(a2-a1)+a1=(bn-1)+(bn-2)+.....+b1+a1=5/3+(-1)^n*1/3*1/2^(n-2)
安居区18312501415： 已知数列{an}满足:a1=1,a2=1/2,an+2=(an+1)^2/(an+an+1) - ？
局解拉米： an+2=(an+1)^2/(an+an+1)2 边取倒数1/a(n+2)=[an+a(n+1)]/[a(n+1)*a(n+1)] a(n+1)/a(n+2)=[an+a(n+1)]/a(n+1) = an/a(n+1) + 1 设bn=an/a(n+1) 则 b(n+1)=a(n+1)/a(n+2) b(n+1)=bn+1 b(n+1)-bn=1==> bn 即{an/a(n+1)} 为等差数列 ,首项为 b1=a1/a...
安居区18312501415： 已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=[an+a(n+1)]/2,n∈N*,求{an}的通项公式 - ？
局解拉米： 解:由a(n+2)=[an+a(n+1)]/2 则a(n+2)-a(n+1)=[an-a(n+1)]/2 可令bn=a(n+1)-an 则b(n+1)=-1/2*bn 即{bn}为等比数列,b1=1,公比-1/2,所以{bn}的通项公式为 bn=(-1/2)^(n-1) 将{an}代入,即an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2) a2-a1=1 n-1个式子累加可求的an=[5+4(-1/2)^n]/3 小优解答,希望回答对你有帮助
安居区18312501415： 已知数列{an}满足a1=1, a2=2,a(n+2)=(an+an+1)/2,n∈N* (1)令 - ？
局解拉米： (1)a(n+2)=(an+a(n+1))/2 a(n+2)-a(n+1)=(an+a(n+1))/2-a(n+1)=-1/2(a(n+1)-an) 即b(n+1)=-1/2bn 所以{bn}为等比数列(2)b1=a2-a1=1 所以bn=(-1/2)^(n-1) a(n+1)=an+(-1/2)^(n-1) an=a(n-1)+(-1/2)^(n-2) …… a3=a2+(-1/2) a2=a1+1 用累加法,得an=a1+1+(-1/2)+(-1/2)^2+...+(-1/2)^(n-2)=1+[1-(-1/2)^(n-1)]/[1-(-1/2)]=5/3-2/3(-1/2)^(n-1)
