x-sinx的等价无穷小

~ 本题用泰勒公式很好处理
因sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...
则x-sinx=x^3/3!-x^5/5!+...
而lim(x→0)(x^3/3!)/(x^3/3!-x^5/5!+...)=1
则x^3/3!是x^3/3!-x^5/5!+...的等价无穷小
即x^3/3!是x-sinx的等价无穷小
即x^3/6是x-sinx的等价无穷小

还可以这样来考虑：
令x-sinx的等价无穷小为f(x)
即lim(x→0)f(x)=0
则由等价无穷小的定义知lim(x→0)f(x)/(x-sinx)=1
显然极限lim(x→0)f(x)/(x-sinx)是0/0型
由罗必塔法则有
lim(x→0)f(x)/(x-sinx)
=lim(x→0)f'(x)/(1-cosx)
=lim(x→0)f''(x)/sinx
=lim(x→0)f'''(x)/cosx
=lim(x→0)f'''(x)/1=1
则有f'''(x)=1
于是f''(x)=∫f'''(x)dx=∫1dx=x+C
f'(x)=∫f''(x)dx=∫xdx=(1/2)x^2+C
f(x)=∫f'(x)dx=∫(1/2)x^2dx=x^3/6+C
所以x-sinx的等价无穷小为x^3/6

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石拐区18782518630： x - sinx等价无穷小是什么 ？
蒋菊琥珀： 首先对X-sinX求导显然(X-sinX)'=1-cosx而1-cosx为0.5x²的等价无穷小即X-sinX的等价无穷小为0.5x²的原函数对0.5x²积分得到1/6 x^3所以X-sinX的等价无穷小为1/6 ...

石拐区18782518630： x - sinx的等价无穷小?他们说是X^3/6,但我这样做的:x - sinx=x/2(2 - 2sin(x/2)*cos(x/2)/(x/2))=x/2(2 - 2cos(x/2))=x(1 - cos(x/2))=x*2*(sinx/4)^2=x^3/8请问我错在哪里... - ？
蒋菊琥珀：[答案] 错在(2-2sin(x/2)*cos(x/2)/(x/2))=2(2-2cos(x/2)) 这一步 你默认了sinθ/θ=1,实际上本题就是要求出sinθ的更高阶... 事实是,sinθ=θ-θ^3/3!+o(θ^5/5!),(sinθ)/θ=1-θ^2/3!+θ^4/5!+... 在求θ—>0极限时是1,是因为更高阶的无穷小θ^2/3!、θ^4/5!......

石拐区18782518630： x - sinx等价于什么? - ？
蒋菊琥珀： X-sinX的等价无穷小为1/6 x^3. 首先对X-sinX求导 显然(X-sinX)'=1-cosx 而1-cosx为0.5x²的等价无穷小 即X-sinX的等价无穷小为0.5x²的原函数 对0.5x²积分得到1/6 x^3 所以X-sinX的等价无穷小为1/6 x^3 扩展资料: 等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是:在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的.无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的. 等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错,加减时可以整体代换,不一定能随意 单独代换或分别代换.

石拐区18782518630： 有关等价无穷小的问题x - Sinx与ax^3等价无穷小,求a.怎么做? - ？
蒋菊琥珀：[答案] 由泰勒展开式 sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... 所以x-sinx=x^3/3!-x^5/5!+...(-1)^k*x^(2k-1)/(2k-1)!+ 所以a=1/3!=1/6

石拐区18782518630： x - sinx与x - x是等价无穷小吗 - ？
蒋菊琥珀： 不是,也不可能是 x-sinx,是个不恒为0的无穷小 而x-x是恒为0的无穷小 也就是说x-x就是直接等于0,而不仅仅是趋近于0 所以x-x这个是最高阶的无穷小,比任何无穷小都高阶,除了恒等于0本身以外,不存在任何无穷小和x-x,也就是0这个无穷小等价.没有任何无穷小,有资格和它等价.都比它低阶.

石拐区18782518630： 请问(x - sinx)的主部怎么求?当x趋于零时 - ？
蒋菊琥珀：[答案] 什么是主部?没搞懂呢 你是指等价无穷小?! 当x->0时,x-sinx 的等价无穷小是 x^3/6 方法是 用泰勒公式求sinx的表达式

石拐区18782518630： 常用等价无穷小x - sinx证明过程 - ？
蒋菊琥珀： 首先,先证明:当0<x<π/2时,有: sin x < x < tan x (不能用求导去证明,否则就变成循环论证 因为sin x的求导公式中运用到这一个极限) 在直角坐标系中作一单位圆(以原点O为圆心,1为半径的圆),交x正半轴于点A 作圆在A点上的切线AB...

石拐区18782518630： sinx的等价无穷小是什么? - ？
蒋菊琥珀： x-sinx的等价无穷小.在经典的微积分或数学分析中,无穷小量通常以函数、序列等形式出现. 无穷小量即以数0为极限的变量,无限接近于0.确切地说,当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时,函数值f(x)与0无限接近,即f(x)→0(或f(x)=0),则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量.扩展资料: 性质 1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量. 2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量. 3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量. 4、特别地,常数和无穷小量的乘积也为无穷小量. 5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小.

石拐区18782518630： 当X趋近于0时,x - sinx与ax^3是等价无穷小量,则a= - ？
蒋菊琥珀：[答案] limx->0 (x-sinx)/ax^3 是0/0的形式 =limx->0(1-cosx)/3ax^2 还是0/0的形式 =limx->0sinx/6ax =1/6a limx->0 sinx/x=1/6a=1 a=1/6

石拐区18782518630： 等价无穷小重要公式 - ？
蒋菊琥珀：[答案] 当x→0,且x≠0,则 x--sinx--tanx--arcsinx--arctanx; x--ln(1+x)--(e^x-1); (1-cosx)--x*x/2; [(1+x)^n-1]--nx; ln(1+x)--x ex-1--x loga(1+x)--x/lna;