已知数列{an}满足aₙ₊₁=an+2×3ⁿ+1,a1=3，求{an}的通项公式

已知数列{an}满足首项为a1=2,an+1=2an,(n∈N*).设bn=3log2an-2(n∈N*),数列{cn}满足cn=anbn.~

( 1) 由已知可得, an=a₁qⁿˉ¹=2ⁿ 2分
∴bn=3log₂2 ⁿ n-2 3分
∴bn=3n-2,∵bn+1-bn=3 4分
∴{bn}为等差数列,其中b1=1,d=3 5分
(2) cn=anbn=(3n-2)·2ⁿ 6分
Sn=1·2+4·2²+7·2³+…+(3n-2)·2ⁿ 　① 7分
2Sn=1·2²+4·2³+7·2⁴+…+(3n-5)·2ⁿ+(3n-2)·2ⁿ⁺¹ ② 8分
①-②得
-Sn=2+3[22+23+24+…+2n]-(3n-2)·2ⁿ⁺¹ 9分
=2+3·4(1-2n-1)/(1-2)-(3n-2)·2ⁿ⁺¹ 10分
=-10+(5-3n)·2ⁿ⁺¹ 11分
∴Sn=(3n-5)·2+10 12分
⁰⁵⁶⁷⁸⁹⁼⁽⁾ª˙ˊ₊₋₌₍₎º⁻ɩɪɴʟʹ͵⃗¡₀₀₃₄₅₆₇₈₉

（1）由a1=3，an+1+an=3•2n，n∈N*．得：
an+1−2n+1＝−(an−2n)，
所以数列{an−2n}是以a1-2=1为首项，公比为-1的等比数列，
∴an−2n=（-1）n-1，所以an＝2n+(−1)n−1；
（2）假设存在连续三项an-1，an，an+1成等差数列，则由已知得：
2（2n+（-1）n-1）=2n-1+（-1）n-2+2n+1+（-1）n，（n≥2）
化简得2n-1=22×（-1）n-1，显然当n=3上式成立，
所以存在数列{an}中的第二、三、四项构成等差数列；
（3）由1＜r＜s且r，s∈N*，结合通项可知a1＜ar＜as，
由a1，ar，as成等差数列，可得2ar=a1+as，
即2•2r+2（-1）r-1=3+2s+（-1）s-1，整理得2r+1-2s=3-2（-1）r-1+（-1）s-1，
因为1＜r＜s且r，s∈N*，所以2r+1-2s的可能取值为0，8，…，而3-2（-1）r-1+（-1）s-1∈[0，6]，
∴2r+1-2s=0，
∴s=r+1（r≥2，r∈N）．

解：由已知得
a[n+1]-a[n]＝2×3^n+1，
所以当n≥2时有
a[n]-a[n-1]＝2×3^(n-1)+1，
a[n-1]-a[n-2]＝2×3^(n-2)+1，
… … … …
a[2]-a[1]＝2×3^1+1，
两边累加得
a[n]-a[1]
＝2×[3^(n-1)+3^(n-2)+…+3^1]+(n-1)
＝2×3[1-3^(n-1)]/(1-3)+(n-1)
＝3^n+n-4，
又已知 a[1]＝3，所以
a[n]＝3^n+n-4+a[1]＝3^n+n-1，
又因为 3^1+1-1＝3＝a[1]，
所以数列{a[n]}通项公式为
a[n]＝3^n+n-1 .

a<n+1>=an+2×3ⁿ+1,
化为a<n+1>-3^(n+1)-(n+1)=an-3^n-n=……=a1-3-1=-1,
所以an=3^n+n-1.

详细过程如图rt……希望能帮到你解决问题

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麻山区13012212599： 已知数列an满足a1=1/4,an=a[n - 1]/( - 1)^n•a[n - 1] - 2已知数列{a[n]}满足a1=1/4,an=a[n - 1]/( - 1)^n•a[n - 1] - 2(n大于等于2,n属于N)⑴求数列{a[n]}的通项公式a[n]⑵设... - ？
巢哑护肝：[答案] 1.an=a[n-1]/(-1)^n•a[n-1]-2(n大于等于2,n属于N) 1/a(n)=(-1)^n-2/a(n-1) 1/a(n+1)=(-1)^(n+1)-2/a(n) 1/a(n+1)+1/a(n)=-2(1/a(n-1)+1/a(n)) [1/a(n+1)+1/a(n)]/[1/a(n-1)+1/a(n)]=-2 所以数列{1/a(n+1)+1/a(n)}为等比数列,公比q=-2 1/a(n+1)+1/a(n)=[1/a(2)+1/a(...

麻山区13012212599： 已知数列{an}满足:a1=2,an+1=an2 - nan+1,令bn=1a n?a n+1,则数列{bn}的前n项和Sn=------ - ？
巢哑护肝： 当n=1时,a2=a12-a1+1=4-2+1=3,当n=2时,a3=a22-2a2+1=9-6+1=4,当n=3时,a4=a32-3a3+1=16-12+1=5,当n=4时,a5=a42-4a4+1=25-20+1=6,则由归纳法可知an=n+1,则bn=1 a n?a n+1 =1 (n+1)(n+2) =1 n+1 ?1 n+2 ,则数列{bn}的前n项和Sn=1 2 ?1 3 +1 3 ?1 4 +…+1 n+1 -1 n+2 =1 2 -1 n+2 ,故答案为:1 2 -1 n+2

麻山区13012212599： 已知数列An满足A₂=½A₁,Aⁿ=½(Aⁿ - ₁+Aⁿ - ₂),n=3、4…….若Aⁿ的极限为2,则A₁= - ？
巢哑护肝：[选项] A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 5 希望是节约时间能快速选出答案的方法.

麻山区13012212599： ①已知数列{an}满足a1=1,an+1=an/3an+1,求证数列{1/an}是等差数列②sn=1+x²+...+x的(n - 1)次方. - ？
巢哑护肝：[答案] an+1=an/3an+1, 两边取倒数 1/a(n+1)=(3an +1)/an =3+1/an 1/a(n+1)-1/an=3 所以 {1/an}是等差数列,首项为1/a1=1,公差为3 1/an=1+3(n-1) 1/an=3n-2 所以 an=1/(3n-2) (2)等比数列求和公式即可 ① x=1 ,Sn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2 ② x≠1,Sn=(1-x^n)...

麻山区13012212599： 已知数列{an}满足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,则a3=() - ？
巢哑护肝：[选项] A. 1 B. 2 C. 3 D. 7 2

麻山区13012212599： 已知数列{an}满足:a1=3,an+1=3an−2an,n∈N*.(Ⅰ)证明数列{an−1an−2}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=an(an+1 - 2),数列{bn}的前... - ？
巢哑护肝：[答案] 证明:(Ⅰ)∵an+1−1an+1−2=3an−2an−13an−2an−2=2(an−1)an−2,又a1−1a1−2=2≠0,∴{an−1an−2}等比数列,且公比为2,∴an−1an−2=2n,解得an=2n+1−12n−1;(Ⅱ)bn=an(an+1−2)=2n+1−12n−1(...

麻山区13012212599： 已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…(n - 1)an - 1(n>=2)则{an}的通项an大致就可以,另外,题中{an}的通项是分段函数. - ？
巢哑护肝：[答案] 解当n=2时a2=(2-1)a1=1 当(n>=3)时 由an=a1+2a2+3a3+…(n-1)an-1.① 则a(n+1)=a1+2a2+3a3+…(n-1)an-1+nan .② 两式相减②-① 得a(n+1)-an=nan (n>=3) 即a(n+1)=(n+1)an 即 a4=3a3 a5=4a4 . a(n-1)=(n-1)a(n-2) an=na(n-1) 上述各式相乘得 an...

麻山区13012212599： 已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n - 1)an - 1,则n≥2时,数列{an}的通项an=() - ？
巢哑护肝：[选项] A. n! 2 B. (n+1)! 2 C. n! D. (n+1)!

麻山区13012212599： 已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明{an+12}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn. - ？
巢哑护肝：[答案] (1)在an+1=3an+1中两边加12:an+12=3(an−1+12),…2分可见数列{an+12}是以3为公比,以a1+12=32为首项的等比数列.…4分故an=32*3n−1−12=3n−12.…6分(2)Sn=a1+a2+…+an=31−12+32−12+…+3n−12=12(3+...

麻山区13012212599： 已知数列{an}满足a1=a,a(n+1)=1+1/an我们知道当a取不同的值时.得到不同的数列,例如,当a=1时,得到无穷数列:1,2,3/2,5/3,...,当a= - 1/2时,得到有穷... - ？
巢哑护肝：[答案] (1)因为a1=a,a(n+1)=1+1/an 所以a2=1+1/a1=1+1/a=(a+1)/a,a3=1+1/a2=(2a+1)/(a+1), a4=1+1/a3=(3a+2)/(2a+1).故当a=-2/3时,a4=0. (2)因为b1=-1,b(n+1)=1/(bn-1),所以bn=1/b(n+1)+1. a取数列{bn}中的任一个数不妨设a=bn. 所以a2=1+1/a1=1+1/bn=b...