求函数ln(x+√(1+x^2))在原点的泰勒展开式
(ln(x+√(1+x^2)))'=1/(√(1+x^2))=(1+x^2)^(-1/2)
(1+x^2)^(-1/2)=1-(1/2)x^2+(-1/2)(-1/2-1)/2!(x^4)+(-1/2)(-1/2-1)(-1/2-2)/3!(x^6)+...
=1-(1/2)x^2+(-1/2)(-3/2)/2!(x^4)+(-1/2)(-3/2)(-5/2)/3!(x^6)+...
=1-(1/2)x^2+(-1)^2(1*2*3/2)(1/2^2)/2!(x^4)+(-1)^3*(1*2*3*4*5/(2*4))(1/2^3)/3!(x^6)+...
=1+∑(-1)^n*(2n-1)!/(2^(2n-1)(n-1)!n!)x^2n (-1<x<1)
∴ln(x+√(1+x^2))=x+∑(-1)^n*(2n-1)!/(2^(2n-1)(n-1)!n!(2n+1))x^(2n+1) (-1<x<1)
∵ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-....
把x换成x²得ln(1+x²)=x²-x^4/2+x^6/3-......
这个就是过程
导数不一样又如何?展开式中并不涉及导数,x-x²/2+x³/3-....是最终的结果,所以直接换元法替换掉就行了
函数ln(x+√(1+x^2))在原点的泰勒展开式：
(ln(x+√(1+x^2)))'=1/(√(1+x^2))=(1+x^2)^(-1/2)
(1+x^2)^(-1/2)=1-(1/2)x^2+(-1/2)(-1/2-1)/2!(x^4)+(-1/2)(-1/2-1)(-1/2-2)/3!(x^6)+...
=1-(1/2)x^2+(-1/2)(-3/2)/2!(x^4)+(-1/2)(-3/2)(-5/2)/3!(x^6)+...
=1-(1/2)x^2+(-1)^2(1*2*3/2)(1/2^2)/2!(x^4)+(-1)^3*(1*2*3*4*5/(2*4))(1/2^3)/3!(x^6)+...
=1+∑(-1)^n*(2n-1)!/(2^(2n-1)(n-1)!n!)x^2n (-1<x<1)
∴ln(x+√(1+x^2))=x+∑(-1)^n*(2n-1)!/(2^(2n-1)(n-1)!n!(2n+1))x^(2n+1) (-1<x<1)
泰勒公式：
泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
f'(x)=-2x/(1-x²)
f''(x)=[-2(1-x²)-(-2x)(-2x)]/(1-x²)²
=-2(1+x²)/(1-x²)²
f(3) (x)
=-2[2x(1-x²)²-2(1-x²)(-2x)(1+x²)]/(1-x²)^4
泰勒公式的余项
泰勒公式的余项有两类：
一类是定性的皮亚诺余项。
另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。
函数y=ln(x 根号下1 x²)的导函数为——
好象是y=ln[x+√(1+x²)]解：y=ln[x+√(1+x²)]y'=1\/[x+√(1+x²)]*[x+√(1+x²)']=1\/[x+√(1+x²)]*[1+(1\/2)\/√(1+x²) *(1+x²)']=1\/[x+√(1+x²)]*[1+(1\/2)\/√(1+x²) *2x]=1\/[x+√(...
已知函数y= ln(x+√(x^2+1))的导数为?
y=ln(x+√（x^2+1）)的导数为：1\/√（x^2+1）。解答过程如下：链式法则：若h(a)=f[g(x)]，则h'(a)=f’[g(x)]g’(x)。链式法则用文字描述，就是“由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。”常用导数公式：1.y=c(c为常数) y...
y= ln(x+√(x^2+1))的导数怎么求啊?
y=ln(x+√（x^2+1）)的导数为：1\/√（x^2+1）。解答过程如下：导函数 如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间，导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极...
请问y=ln(x+√(x^2+1))的导数是多少?
y=ln(x+√（x^2+1）)的导数为：1\/√（x^2+1）。解答过程如下：导数计算的性质：不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。对于可导的函数f(x)，...
为什么对数函数ln(x+√(1+ x^2))= x?
正常的对数函数ln(x)中，ln(2)是一个常数，可以表示为一个特定的值。因此，可以将ln(2)简化为一个常数c，得到：ln(x + √(1 + x^2)) ≈ c + ln(x)现在，我们可以看到ln(x + √(1 + x^2))和x之间存在一个近似的等价关系：ln(x + √(1 + x^2)) ≈ x + c。虽然这个等式...
㏑(X √1 X²)为奇函数吗
ln(x+√(1+ X²))是奇函数。设f(x)=ln(x+√(1+ X²))，则f(-x)=ln(-x+√(1+ X²))∴f(x)+f(-x)=ln[(1+x²)-x²]=ln1=0 ∴f(-x)=-f(x)∴是奇函数。
函数ln(x+√(1+ x^2))在原点泰勒展开式?
函数ln(x+√(1+x^2))在原点的泰勒展开式：(ln(x+√(1+x^2)))'=1\/(√(1+x^2))=(1+x^2)^(-1\/2)(1+x^2)^(-1\/2)=1-(1\/2)x^2+(-1\/2)(-1\/2-1)\/2!(x^4)+(-1\/2)(-1\/2-1)(-1\/2-2)\/3!(x^6)+...=1-(1\/2)x^2+(-1\/2)(-3\/2)\/2!(x^4)...
如何找出ln(x+√(1+ x^2))的无穷小量?
要找出 ln(x+√(1+x^2)) 的等价无穷小，我们可以使用泰勒级数展开来逼近 ln 函数。首先，我们将 √(1+x^2) 展开为泰勒级数，然后将其代入 ln 函数中进行简化。√(1+x^2) 的泰勒级数展开为：√(1+x^2) = 1 + (1\/2)x^2 - (1\/8)x^4 + (1\/16)x^6 - ...接下来，将该...
ln(x+√(1+ x²))是奇函数吗?
ln[x＋√(1＋x²)]是一个奇函数。证明过程如下：f(x)=ln[x＋√(1＋x²)]f(-x)=ln[-x＋√(1＋x²)]两式相加，得：f(x)+f(-x)=ln[x＋√(1＋x²)][-x＋√(1＋x²)]=ln[(1+x²)-x²]=ln1 =0 因此f(-x)=-f(x)故ln[x＋...
求函数ln(x+√(1+x^2))在原点的泰勒展开式
函数ln(x+√(1+x^2))在原点的泰勒展开式：(ln(x+√(1+x^2)))'=1\/(√(1+x^2))=(1+x^2)^(-1\/2)(1+x^2)^(-1\/2)=1-(1\/2)x^2+(-1\/2)(-1\/2-1)\/2!(x^4)+(-1\/2)(-1\/2-1)(-1\/2-2)\/3!(x^6)+...=1-(1\/2)x^2+(-1\/2)(-3\/2)\/2!(x^4)...
洪种乙肝：[答案] 函数的导数为 Y'=(x+√1+x^2)'/(x+√1+x^2) =[x'+(√1+x^2)']/(x+√1+x^2) =[1+2x/2(√1+x^2)]/(x+√1+x^2) =[1+x/(√1+x^2)]/(x+√1+x^2) =[(x+√1+x^2)/(√1+x^2)]/(x+√1+x^2) =1/√1+x^2 所以函数的微分为dY=Y'dx=dx/√1+x^2
合川区13977007181： 求函数y=ln(x+根号(1+x^2))微分 - ？
洪种乙肝：[答案] y=ln[x+√(1+x²)] ∴y'=[x+√(1+x²)]'/[x+√(1+x²)] =[1+x/√(1+x²)]/[x+√(1+x²)] =[x+√(1+x²)]/[1+x²+x√(1+x²)]
合川区13977007181： ln(x+√￣(1+x^2))的求导计算过程 - ？
洪种乙肝： 分析:设原函数为f(x),同时设:y(x)=x+√(1+x^2) 代入原函数,有:f(x)=ln[y(x)]. 可见,这是一个复合函数 f'(x)=ln[y(x)]'=y'(x)/y(x) 然后再进行化简、整理.具体计算,就比较简单了,留给楼主练习吧,
合川区13977007181： 高数简单题!求(1+x^2)·ln(x+√(1+x^2))的导数,要过程哦!不急,对了才好. - ？
洪种乙肝： [(1+x^2)·ln(x+√(1+x^2))]'=(1+x^2)'ln(x+√(1+x^2))+(1+x^2)ln(x+√(1+x^2))'=2xln(x+√(1+x^2))+√(1+x^2) 注意:ln(x+√(1+x^2))'=1/√(1+x^2)
合川区13977007181： 求函数ln(x+√(1+x^2))在x=0处的幂级数展式,并求展开式成立的区间 - ？
洪种乙肝：[答案] (ln(x+√(1+x^2)))'=1/(√(1+x^2))=(1+x^2)^(-1/2)(1+x^2)^(-1/2)=1-(1/2)x^2+(-1/2)(-1/2-1)/2!(x^4)+(-1/2)(-1/2-1)(-1/2-2)/3!(x^6)+...=1-(1/2)x^2+(-1/2)(-3/2)/2!(x^4)+(-1/2)(-3/2)(-5/2)/3!(x^6)+...=1-(1/2...
合川区13977007181： 帮忙判断下奇偶性啊y=Ln(x+√1+x^2) - ？
洪种乙肝：[答案] ∵f(x)+f(-x)=Ln[x+√(1+x²)]+Ln[(-x)+√(1+x^2)]=Ln[x+√(1+x²)][(-x)+√(1+x^2)](对数运算性质)=Ln1 (平方差公式)=0∴f(-x)=-f(x)∴是奇函数.带有这种对数的函数,用f(x)+f(-x)=0进行判断较简便....
合川区13977007181： 函数ln(x+√(1+ x^2))在原点泰勒展开式? - ？
洪种乙肝： 函数ln(x+√(1+x^2))在原点的泰勒展开式: (ln(x+√(1+x^2)))'=1/(√(1+x^2))=(1+x^2)^(-1/2) (1+x^2)^(-1/2)=1-(1/2)x^2+(-1/2)(-1/2-1)/2!(x^4)+(-1/2)(-1/2-1)(-1/2-2)/3!(x^6)+... =1-(1/2)x^2+(-1/2)(-3/2)/2!(x^4)+(-1/2)(-3/2)(-5/2)/3!(x^6)+... =1-(...
合川区13977007181： 函数奇偶性y=ln(x+根号(1+x^2))怎么判断这个奇偶性 - ？
洪种乙肝：[答案] f(-x)=ln[-x+√[1+(-x)²] =ln[-x+√(1+x²)] =ln{[-x+√(1+x²)][x+√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]} 分子平方差 =ln{[(1+x²)-x²]/[x+√(1+x²)]} =ln{1/[x+√(1+x²)] =-ln[x+√(1+x²) =-f(x) 因为x+√(1+x²)>0恒成立 所以定义域R,关于原点对称 所以是奇函数
合川区13977007181： 已知y=ln(x+√1+x^2)求y'√上打在1+x^2上的,越详细越好.. - ？
洪种乙肝：[答案] 复合函数 先对ln求导 等于1/[x+√(1+x^2)] 再对x+√(1+x^2)求导 等于x'+[√(1+x^2)]' 其中x'=1 [√(1+x^2)]',先对根号求导,等于(1/2)*1/√(1+x^2) 再对1+x^2求导 等于2x 所以对x+√(1+x^2)求导=1+2x/[2√(1+x^2)]=1+x/√(1+x^2)=[x+√(1+x^2)]/√(1+x^2)...
合川区13977007181： 求函数ln(x+√(1+x^2))在原点的泰勒展开式 - ？
洪种乙肝： f'(x)=-2x/(1-x²) f''(x)=[-2(1-x²)-(-2x)(-2x)]/(1-x²)² =-2(1+x²)/(1-x²)² f(3) (x) =-2[2x(1-x²)²-2(1-x²)(-2x)(1+x²)]/(1-x²)^4 泰勒公式的余项 泰勒公式的余项有两类: 一类是定性的皮亚诺余项. 另一类是定量的拉格朗日余项.这两类余项本质相同,但是作用不同.一般来说,当不需要定量讨论余项时,可用皮亚诺余项(如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题);当需要定量讨论余项时,要用拉格朗日余项(如利用泰勒公式近似计算函数值).
