△ABC内接于圆H是它的垂心求点H分别以BCACAB为轴的对称点是相应的高的延长线

证明：垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上（要图）~

实际上只需要说明垂心关于一边的对称点在外接圆上，那么就可以说明其他两个对称点也在外接圆上。

设△ABC的垂心为H，关于AC的对称点是D，易得△AHC≌△ADC，故∠AHC=∠ADC。又由条件易得∠AHC=∠EHF，∠EHF+∠ABC=π，故∠ADC+∠ABC=π，由四点共圆的判定定理，可知D在△ABC的外接圆上。同理，其他两对称点也在外接圆上。

延长BH交AC于点E，延长CH交AB于点F。则有：
∠BHC
= 180°-(∠BCF+∠CBE)
= 180°-(90°-∠ABC+90°-∠ACB)
= ∠ABC+∠ACB
= ∠APC+∠APB
= ∠BPC

△ABC内接于圆，H是它的垂心，求证点H分别以BC、ACAB为轴的对称点是相应的高的延长线与外接圆的交点。也就是求证高的延长线与外接圆的交点是点H以此高所对应的底边为轴的对称点。
设三条高分别是AD、BE、CF，延长AD交外接圆于P，连接BP，则∠CBP=∠CAP，而∠CAP=∠CBE，所以∠CBP=∠CBE，可证Rt⊿DBP≌Rt⊿DBH，得DP=DH，即P和H是关于BC的对称点。
同理，其余两条高也具有同样的性质。

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鄂州市17220841696： 在圆内接三角形ABC内,H为垂心;从垂心H到AB的垂线与AB交与D点,与弧AB交与E点.求证:AH=AE？
恽薛珍黄： 证明:∵点A、E、B、C均在同一圆弧上, ∴∠AEC=∠ABC(同弧所对圆周角相等),∵H是垂心,∴∠BAH+∠ABC=∠BAH+∠AHE=90°, ∴∠ABC=∠AHE=∠AEC,∴△AEH是等腰三角形(两个底角相等的△是等腰三角形) ∴AH=AE(等腰三角形的腰相等).

鄂州市17220841696： 如果三角形abc内接于圆o,h是它的垂心,求证:点h分别以bc,ac,ab为轴的对称点是相？
恽薛珍黄： 有没有图形

鄂州市17220841696： 三角形ABC内接于圆O,AH垂直于BC,垂足为H,AD平分角BAC,点D在圆O上,求证AD平分角HAO - ？
恽薛珍黄： 因为OA=OD,所以角OAD=角ODA,所以角OAD=角HAD,所以AD平分角HAO或者连接AO延长交园O于E,连接BE,这样AB垂直BE,角BAE加角AEB等于90度,又角AEB等于角ACH,所以角BAE等于角CAH,又AD平分角BAC,所以角BAD等于角CAD ,角EAD等于角DAH,证明爱的平分角HAO..

鄂州市17220841696： 如图,H是内接于⊙O的△ABC的垂心,∠A>90°,以CH为直径的⊙O - 1与⊙O的一个交点为D,HD的延长线交AB于点？
恽薛珍黄： 因H内接与⊙O,所以HB=HA=r;又H为△ABC的 垂心,CH为直径,所以HD垂直于AB,故HD为△ABC的中垂线,故M是AB的中点

鄂州市17220841696： 三角形ABC内接于圆,AD垂直BC于D,弦BH垂直AC于E交AD于F,求证FE等于EH. - ？
恽薛珍黄： 这是垂心的一个性质.易知CDFE是圆内接四边形,故

鄂州市17220841696： 如图,△ABC为锐角三角形,△ABC内接于圆O,∠BAC=60°,H是△ABC的垂心,BD是⊙O的直径.求证:AH= - ？
恽薛珍黄： 证明:连接AD,CD,CH,∵BD是⊙O直径,∴∠BAD=∠BCD=90°,又∠BAC=60°,∴∠CAD=30°,∠DBC=∠CAD=30°,在Rt△BCD中,CD=12 BD,H是△ABC的垂心,AH⊥BC,CH⊥AB,又DC⊥BC,DA⊥AB,∴四边形AHCD为平行四边形,∵AH=CD,∴AH=12 BD.

鄂州市17220841696： 锐角三角形ABC中,H是垂心,D是BC中点,延长HD,交△ABC的外接圆于E,则D是HE中点 - ？
恽薛珍黄： 设外心为O,外接圆半径为R.作过A的直径,交外接圆于F,作三角形AFH与OFD.直接计算表明:OD=RcosA,AH=2RcosA,于是AF/OF=AH/OD=2.而AH与OD同时垂直于BC,从而二者平行,得到∠FOD=∠FAH,于是AFH与OFD相似.此时,∠OFD=∠AFH,而直线AF与OF重合,FD与FH在AF的同侧,于是直线FD与FH重合,即E=F(两者同为HD延长后与外接圆的交点).于是由相似性,HE/DE=HF/DF=2,即D是HE的中点.

鄂州市17220841696： △ABC内接于圆O,AD垂直BC于点D,BE⊥AC于点E,AD BE相交于点H若BC=6 AH=4则圆o的半径为 - ？
恽薛珍黄： 连接CO并延长交⊙O于M,连接MB、MA ,做OF⊥BC于F ∵CM为直径.∴∠MBC=∠MAC=90°;又∵∠ADC=∠BEC=90° ∴∠MBC=∠ADC,∠MAC=∠BEC;∴MB∥AD,MA∥BE ∴四边形MBHA为平行四边形,∴MB=AH=4 又∵OF⊥BC,∴根据垂经定理:CF=FB=1/2BC=3; 又∵半径:CO=OM,∴根据中位线:OF=1/2MB=1/2AH=2 ∴OC

鄂州市17220841696： △ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,CD平分∠ACB交圆O于点D,交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE,OH 证OH⊥AC - ？
恽薛珍黄： △ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,CD平分∠ACB交圆O于点D,交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE,,OH,(1) 证明OH⊥AC;(2)若AC=6,BC=4,求OH的长.证明:∵AB是直径,点C在圆上,∴AC⊥BC;延长CB和AE,使之相交于G,∵CD平分∠ACB,CH⊥AG,故△ACG是等腰直角三角形,H是AG的中点,又O是AB的中点,故OH是△ABG的中位线,∴OH∥CG,而CG⊥AC,∴OH⊥AC.OH=(1/2)GB=(1/2)(CG-CB)=(1/2)(AC-CB)=(1/2)(6-4)=1.

鄂州市17220841696： 已知三角形ABC中 H为垂心,AD BE CF是高 EF交AD于点G 求证GH/DH=GA/DA - ？
恽薛珍黄： 易证△ABC的垂心H必为△DEF的内心,由H是△DEF的内心知 GH DH = EG ED .又不难证明EA是△GED的外角平分线,故 GE DE = AG AD . 从而 GH DH = GA AD . 解:∵H为垂心,AD、BE、CF是高,∴△ABC的垂心H必为△DEF的内心,∵H是△DEF的内心知,∴ GH DH = EG ED . ∴EA是△GED的外角平分线,∴ GE DE = AG AD . ∴ GH DH = GA AD .