在△ABC中，∠CAB＝60°，O是外心，H是垂心，求证：AO＝AH

已知△ABC中，∠A=60°，H为垂心，O为外心，I是内心．求证：（1）AO=AH；（2）B、O、I、H、C五点共圆~

解答：证明：（1）因为O是外心，CE⊥BC，又H是垂心．故AH⊥BC，从而AH∥CE．同理CH∥AE．于是AHCE为平行四边形，AH=CE．又∠BEC=∠A=60°，从而∠EBC=∠30°．所以EC=12BE=OA，故AH=CE=OA．（2）作O关于BC的对称点O′，连接BO、BI、BH、BO′、CO、CI、CH、CO′，由三角形外心、内心、垂心的张角公式可知，∠BOC=2∠A=120°，∠BIC=90°+12∠A=120°，∠BHC=180°-∠A=120°，则B、C、H、I、O五点共圆．

为方便证明，角A=60度，则角B、角C至少有一角为锐角，可设角B为锐角
在三角形ABC中，设点A连接垂心H交BC于点D，点C连接垂心H交AB于点E
则有三角形AHE与三角形ABD相似，有：AH/AB=AE/AD

O为外心，设外接圆半径为R，AO=R，则有：
AB=2RsinC
AE=AC*cosA=2RsinB*cosA
AD=AC*sinC=2RsinB*sinC
则
AH=AB*AE/AD=2R*cosA=R=AO（角BAC=60度）

证法一：

如图①，连接CO并延长交⊙O于点D，连接AH并延长交BC于点E，连接AD、DB、BH，则有AE⊥BC，DB⊥BC

∴AE∥BD

同理，可证AD∥BH

∴四边形ADBH是平行四边形

∴AH＝DB

又∵∠BDC＝∠CAB＝60°

∴∠DCB＝30°

∴DB＝1/2CD＝AO

∴AO＝AH

证法二：

如图②，连接AO，延长AH、CH交⊙O于M、交AB于D，连接CM，过点O作ON⊥AC于N

则AN＝1/2AC，CD⊥AB，AM⊥BC

∵∠CAB＝60°

∴∠ACD＝30°

∴AD＝1/2AC＝AN

∵∠AON＝1/2∠AOC＝∠M，∠1＝∠MAB

    ∠1＋∠M＝90°，∠AON＋∠CAO＝90°

∴∠MAB＝∠CAO

又∵∠ONA＝∠CDA＝90°

∴△ANO≌△ADH(ASA)

∴AO＝AH

证: 连接OA, OC, AH, CH.
过点H作HD ⊥ AB，交AB于点H。过点O作OE ⊥ AC，交BC于点E.
∵ O是外心
∴ ∠AOC = 2*∠B. AE = CE.
∴∠AOE = (1/2)∠AOC = ∠B = ∠AHO

∵ ∠CAB＝60°
∴ AD = (1/2)AC = AE
∴ △AEO ≌ △ADH
∴ AO = AH

连接AO，延长AH、CH交⊙O于M、交AB于D，连接CM，过点O作ON⊥AC于N
则AN＝1/2AC，CD⊥AB，AM⊥BC
∵∠CAB＝60°
∴∠ACD＝30°
∴AD＝1/2AC＝AN
∵∠AON＝1/2∠AOC＝∠M，∠1＝∠MAB
∠1＋∠M＝90°，∠AON＋∠CAO＝90°
∴∠MAB＝∠CAO
又∵∠ONA＝∠CDA＝90°
∴△ANO≌△ADH(ASA)
∴AO＝AH

任意画一个60°的三角形，作三角形的外接圆，圆心为0，内切圆心为H。三十多年前做过不知对否。 【回答问题积分】

把图列出来才可以证明啊

图呢~~

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金湖县13870166472： 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的角平分线交于点O.若∠A=60°,求∠BOC的度数;若∠A=α,则∠BOC的度数是多 - ？
熊德兰释： 解:(1)∵∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=120° ∴∠BOC=180°- ½(∠ABC+∠ACB)=120°.(2)∵∠A=a ∴∠ABC+∠ACB=180°-a ∴∠BOC=180°- ½(∠ABC+∠ACB)=180°-½ a.

金湖县13870166472： 在三角形ABC中,∠A=60°,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,求∠BOC的度数. - ？
熊德兰释： ∠BOC=180-∠OBC-∠OCB=180-1/2∠ABC∠-1/2∠ACB=180-1/2(∠ABC∠+∠ACB)=180-1/2(180-∠A)=180-1/2*120=120

金湖县13870166472： 已知∠ABC=60°点O在∠ABC的平分线上OB=5以O为圆心、3cm为半径作圆则圆O与BC的位置关系 - ？
熊德兰释： 相交的.∵OB=5 ∠ABC=60°点O在∠ABC的平分线上则 ∠oBc=30°作OE⊥OB于E ∴OE=½OB=2.5∴圆O与BC的位置关系是相交的 注:圆心到直线的距离小于半径时它们相交

金湖县13870166472： 如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠A=60°,则∠BOC=___. - ？
熊德兰释：[答案] ∵点O在△ABC内,且到三边的距离相等, ∴点O是三个角的平分线的交点, ∴∠OBC+∠OCB= 1 2(∠ABC+∠ACB)= 1 2(180°-∠A)= 1 2(180°-60°)=60°, 在△BCO中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°. 故答案为:120°.

金湖县13870166472： 如图,在三角形ABC中,∠C=60,以AB为直径的半圆O分别与AC边,BC边交于点D,E - ？
熊德兰释： O为AB中点.OA=OB=OD=OE=R,所以∠OAD=∠ADO,∠OBE=∠BEO,又∠C=60°,所以∠OAD+∠OBE=120°,所以∠ADO+∠BEO=120°,∠BED+∠ADE=240°,所以∠OED+∠ODE=120°. 又因为OD=OE,所以∠OED=∠ODE=60°,所以∠DOE=60°.所以三角形ODE是等边三角形

金湖县13870166472： 初二数学几何题三角形ABC中,角B=60度,三角形ABC的角平分线AD CE相交于点O, 猜OE与OD大小关 - ？
熊德兰释： 关系不确定 如果ABC是等边三角形,那么OD=OE ∠A与∠C位置 和 角度不确定因而三角形形状也不确定 若三角形等腰ABC中,∠B=60°,三角形ABC的角平分线AD CE相交于点O, 则OD=OE

金湖县13870166472： 如图,BO、CO分别平分∠ABC和角ACB,若∠A=60°,求∠O你发现了规律 - ？
熊德兰释： 证明:已知∠1=∠2,∠3=∠4, ∠ABC=∠1+∠2=2∠1,∠ACB=∠3+∠4=2∠4则 ∠A=180-∠ABC-∠ACB=180-2∠1-2∠4所以 ∠1+∠4=(180-∠A)/2=90-∠A/2所以 ∠O=180-(∠1+∠4)=180-90+∠A/2=90+∠A/2 1. 当∠A=60 ,∠O=90+60/2=1202. ∠A=100 ∠O=90+100/2=140∠A=120 ∠O=90+120/2=150 3 ∠O=90+∠A/2

金湖县13870166472： 已知在△ABC中,∠B=60°CE,AF是△ABC的角平分线,交于点O.求证AC=AE+CF？
熊德兰释： 一样的题目,只是字母不一样,参考一下:在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O.求证:AE+CD=AC证明在AC上截取AF=AE,连接FO∵∠B=60°,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O∴∠OAC+∠OCA=60度∴∠ADE=60度∵AE=AF∠EAD=∠FADAD=AD∴△AEO≌△AFO∴∠AOE=∠AOF=60度∵∠AOC=120∴∠FOC=∠DOC=60DC=DC∠FCO=∠DCO∴△DOC≌△FOC∴DC=FCAC=AF+FC=AE+CD

金湖县13870166472： 已知如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O,(1)求:∠AOC的度数;(2)求证:AC=AE+CD. - ？
熊德兰释：[答案] (1)∵∠B=60°, ∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°, ∵AD、CE是△ABC的角平分线, ∴∠OAC+∠OCA= 1 2(∠BAC+∠ACB)= 1 2*120°=60°, 在△AOC中,∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-60°=120°; (2)证明:如图,在AC上截取AF=AE, ∵...

金湖县13870166472： 如图,在三角形ABO中,∠B=60°,三角形ABC的角平分线AD,CE相交于O点,求证:OE=OD及AE+CD=AC - ？
熊德兰释： 证明:(1)连接DE,∵AD、CE均是角平分线,∴点O是△ABC的内心,即有∠ABO=∠CB0=(1/2) ∠B=30° 又∵∠DOE=∠AOC=180°-(1/2)(∠A+∠C)=180°-(1/2)(180°-∠B)=120° 即有∠B+∠DOE=180° 故B、D、O、E四点共圆 则∠ODE=∠...