如图，AB是圆O的直径，AC是弦，CD是圆O的切线，C为切点，AD垂直CD于点D。求1.∠AOC=2∠ACD

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC~

证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°-2∠ACO，即 ∠AOC+∠ACO=90°， ∴∠ACD- ∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD； （2）如图，连接BC， ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACD与△RtABC中，由（1）∠AOC=2∠ACD，又∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，∴△ACD∽△ABC， ∴ ，即AC 2 =AB·AD。

解答：证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，两边除以2得：12∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）由①，②，得：∠ACD-12∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）（2）如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（6分）在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，（8分）∴ACAB＝ADAC，即AC2=AB?AD．（9分）

如果只是证明这个结论的话，这道题的条件给多了，AD垂直CD于点D用不上。证明如下：连接BC，由弦切角定理（弦切角与它所夹的弧所对的圆周角相等）可知：∠ACD=∠ABC，又因为∠AOC=2∠ABC（同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2倍），所以∠AOC=2∠ACD.证毕。

证明：连接BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠ACD=∠OCB，
∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，
∵∠AOC为△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=2∠OCB，
则∠AOC=2∠ACD．

2 因为三角形BCA相似三角形CDA
所以AC/AD=AB/AC
所以AC的平方=AB*AP

证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即 12∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD- 12∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）

（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
∠ACD+∠ACO=90°．
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即 2∠AOC+∠ACO=90°
∴∠ACD-2∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
在Rt△ACD与△RtACD中，
∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ACD，
∴ ACAB=ADAC，即AC2=AB•AD

证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即 12∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD- 12∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD与△RtACD中，
∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ACD，（8分）
∴ ACAB=ADAC，即AC2=AB•AD．（9分）

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庆安县17289274701： 如图,AB是圆O的直径,AC是弦,角BAC的平分线AD交圆O于点D,DE垂直于AC,交AC的延长线于点E.(1)若AC=3,AB=5,求AE的长. - ？
盈帘丹葶：[答案] 连接OD,BC相交于点F ∵AD是角平分线 ∴D是弧BC的中点 ∴OD⊥BC ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∴四边形CEDF是矩形 OF是△ABC的中位线 ∴OF=1.5 ∴DF=2.5-1.5=1 ∴CE=1 ∴AE=3+1=4

庆安县17289274701： 如图.已知ab是圆o的直径,ac是弦 - ？
盈帘丹葶：[答案] (1)连接OC,∠OCA=∠OAC=∠CAD,此外∠CAD+∠ACD=90°,所以∠OCA+∠ACD=90°,故OC⊥EF,根据定义得EF即为圆O的切线; (2)提示:阴影部分面积=梯形OCDA面积 - 扇形OCA面积

庆安县17289274701： 如图,AB是圆O的直径,AC是圆O的弦,过点C作圆O切线与AB延长线交于点D,诺角CAB=30度,AB=30,求BD长 - ？
盈帘丹葶：[答案] ∵∠CAB=30°,CD与圆O相切 ∴∠COB=∠CBO=60°, ∴∠BCD=∠BDC=30° ∴BD=1/2AB=15

庆安县17289274701： 如图,AB是圆O的直径,AC是弦,OD垂直于AB交AC于点D.若角A=30°,OD=20cm,求CD的长. - ？
盈帘丹葶： 解法(1):∵OD⊥AB,∠A=30°,∴OA=OD÷tan30°=20 3,AD=2OD=40. ∵AB是⊙O的直径,∴AB=40 3,且∠ACB=90°. ∴AC=AB

庆安县17289274701： 如图,AB是圆O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交圆O于点D,DE⊥AC且交AC的延长线于点E.求证:DE是圆O的切线. - ？
盈帘丹葶：[答案] 证明:连接OD, ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD ∵∠BAC的平分线是AD ∴∠OAD=∠DAC ∴∠DAC=∠ODA,可得OD∥AE…(5分) 又∵DE⊥AE,∴DE⊥OD ∵OD是⊙O的半径 ∴DE是⊙O的切线.…(10分)

庆安县17289274701： 如图,AB是圆O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交○O于点D,DE⊥AC交AC延长线于点E,OE交AD于点F.(1)求证:DE是圆O的切线 (2)若AC/AB=3/... - ？
盈帘丹葶：[答案] 连接OD,OD=OA,∠OAD=∠ODA; 作OG⊥AC,交AC于G,则AG=GC=AC/2,(△OGA≌△OGC,SSA证明略); DE⊥AC, 所以OG‖DE; AD为∠BAC的平分线,∠BAC=2∠DAC=2∠OAD=2∠ODA, 因为∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD, 所以...

庆安县17289274701： 如图,已知AB是圆O的直径,AC是弦,AB=2,AC=2,在图中画出弦AD,使AD=1,并求出∠CAD的度数. - ？
盈帘丹葶：[答案]分为两种情况:①如图1,过O作OE⊥AD于E,作OF⊥AC于F, 由垂径定理得:AE= 1 2AD= 1 2,AF= 1 2AC= 1 2 2, ∵OA= 1 2AB=1, 在△AEO和△AFO中,cos∠EAO= AE AO= 1 2,cos∠FAO= AF AO= 2 2, ∴∠EAO=60°,∠FAO=45°, ∴∠DAC...

庆安县17289274701： AB是圆O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交圆O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F求证 DE是圆O的切线 - ？
盈帘丹葶：[答案] 连接OD,则△AOD是等腰三角形,∠ADO=∠DAO,由AD是∠BAC的平分线知∠DAO=∠DAC,所以∠ADO=∠DAC,OD‖AC.因为DE⊥AC,所以DE⊥OD,故DE是圆O的一条切线.

庆安县17289274701： 如图所示,已知AB为圆O的直径,AC为弦,OD∥BC交AC于D,OD=2cm,求BC的长. - ？
盈帘丹葶：[答案] ∵AB为圆O的直径, ∴O点为AB的中点, ∵OD∥BC, ∴D点为AC的中点, ∴OD为△ABC的中位线, ∵OD=2cm, ∴BC=2OD=4cm.