近世代数关于群和环的问题。
Q[x]是有理系数的多项式环，本质是有理数和x生成的环，环是对加、减、乘封闭的，由有理数和x通过加、减、乘生成的有理系数多项式都是环中的元素，如1/2x=1/2*x，x^2=x*x.有理数系数多项式的加、减、乘还是有理系数多项式，所以Q[x]是环.
(-1)^1/2是虚数单位，一般记作i，Z[(-1)^1/2]由整数和i生成的环，如2i，3+i，4-2i，我记得没错的话这种数也称为高斯整数，所以也可以称为高斯整数环
域是环的一种特例：
域是 1)关于乘法交换;2)存在乘法单位元1(1≠加法单位元0);3)所有非零元有乘法逆元 的环.
或者这样解释，环(R,+,*)如果是一个域，那么(R\{0},*)构成一个交换群,(R,*)构成一个含幺半群；
或者这样解释，环(R,+,*)如果是一个域，(R,*)构成一个含幺半群(可推出1≠0，所以幺元1∈R\{0})，且R\{0}中每个元素关于*在R\{0}中存在逆元
或者一言蔽之：域是交换性除环.
具体为什么不妨比照环与域的定义~
群环域的定义和区别
3、域是两个二元运算，对加法构成加群，对乘法构成非零元的交换群，满足分配律。4、半群是群的扩展，自然包括交换群，用一句形象的话来说（仅对上面的定义），群最小、域其次、环最大。群环域的概念及公式 一、概念 群，域，环都是代数系统（非空集合+运算+规则）二、公式 1、群的定义=[非...
抽象代数群、环、域之间的关系。请求各位数学大师或爱好者帮忙解答。谢...
南开大学的“抽象代数”课，讲授群、环、域、模四种代数体系。这些代数体系对学生而言，都比较抽象，不好理解。例如“群”这种代数体系，如果按照“定义－例－性质－定理”的通常模式去讲授，学生往往只记住一些词汇，难以掌握实质。因为那样讲定义，只说“群是一个带有运算的集合，该运算满足结合律，有...
近世代数理论基础13:循环群
由一个元生成的群称为循环群,对循环群G, ,使 注：上述定义的集合不一定含有无穷多个元,可能 使 例：1.Z关于加法" "构成一个循环群,由1生成,即 2.整数模m的剩余类加法群 是由 生成的循环群,即 注：1.循环群在同构的意义下只有两个 2.循环群的子群仍是循环群 3.循环群是最简单...
在近世代数里面循环群那一节是什么意思?
在近世代数里面，群是一个抽象代数结构，它满足一定的代数性质。其中，循环群是一种特殊的群，它的生成元素可以通过重复操作生成群的所有元素。对于一个有序对，我们可以定义一个加法运算：(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2)。如果我们把这个有序对看成一个向量，那么这个运算就是...
近世代数理论基础21:环的同态与同构
定理：假定R和 是两个环, 是 到 的满同态映射,则同态 的核 是R的理想,且 证明：注：1.R的任一同态像在同构的意义下都是R的一个商环 2.理想在环中的地位与正规子群在群中的地位是平行的 例：1.设 ,其中的加法和乘法定义为： , ,则 关于加法和乘法作成一个环 设 ,则...
集合、群、数环、数域、格、理想、空间
原群是代数系统中的核心，它的存在仅仅依赖于封闭性，即集合中任意两个元素的运算结果仍然在集合内。原群的演变，从半群的可结合性，到幺半群的单位元，再到群的逆元概念，直至阿贝尔群的可交换性，每一步都是对运算规则的深化理解。数环与数域的数学风景 数环和数域是更高级的抽象概念。数环，如...
近世代数基础中 群环域的应用是什么?...
群环域是基本的概念，近世代数主要研究群环域上的性质
数学中,群、环、域、集分别是什么?它们的范围不同吗?
群：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。环(Ring)：是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。域：定义域，值域，数学名词，...
大学应用数学,近世代数环的真子域定义
1832年，法国数学家伽罗瓦利用“群”的思想彻底解决了用根求解多项式方程的可能性，他是第一个提出“群”概念的数学家。他通常被称为现代代数的创始人，他把代数从解代数方程的科学转化为研究代数运算结构的科学，于是称为近世代数。什么是“环”？那么环的定义涉及两个部分，既（R,+）交换群和（R,*...
环、群、域有哪些区别?
首先说说对问题的理解 1、楼主问群、域、环等，这个等还包括什么？包括模与同调吗？包括序和格吗？问题没有说清楚 2、单就群、域、环来说，这几个概念，每一个都有很多范畴，楼主具体想知道什么群、什么环呢？群包括交换群（加群）、置换群、典型群、半群、代数群、组合群、计算群、李群、拓扑...
舟伊复方：[答案] 群当中之定义了一种运算,也就是加法;而环中定义了两种运算,首先是对于加法构成Abel群,其次定义了乘法
抚州市18278083796： 关于近世代数几个基础问题很急...就问俩判断题,基础的...1.群G中,单位元不能构成积的子群2.群G中,单位元不能构成积的不变子群3.环G中,单位元不能构... - ？
舟伊复方：[答案] 1. 单位元构成的子集是单位子群,构成子群.2. 单位元构成的是正规子群,也就是不变子群.3. 环的单位元有两个,一个是零元,一个是幺元,一般称幺元为单位元,仅由它构成的子集不是子环,因为子环要求包含零元.4. 也是对的. ...
抚州市18278083796： <近世代数> 群与环有何异同点?至少分别三点!!急阿!!!!! - ？
舟伊复方： 这个,有教材的话,很清楚啊:1、群G是带有一个二元运算的代数结构,环R上有两个二元运算.所以二者有本质的差别,列个一二三有点搞笑.2、若称群G中的二元运算为乘法,该乘法在G上封闭,满足结合律,乘法有单位元,每个元有逆元;若称环R上二元运算一个是加法,一个是乘法,则R对加法构成交换群,R对乘法构成半群,即只满足封闭性和结合律.环中的加法对乘法满足左右分配律.例如整数集对加法构成群,对加法和乘法构成环.
抚州市18278083796： 近世代数,阿贝尔群以及交换环的证明\x02\x02(a) G1,G2是群,G = G1 * G2(g1,g2) *\x03 (h1,h2) := (g1 \x03* h1,g2 *\x03 h2):求证:仅当G1和G2为阿贝尔... - ？
舟伊复方：[答案] 这第一题与第二题做法上都是异曲同工的.会做第一题第二题也会了.我这就说说第一题怎么做就好了.首先你的乘法是外直积.G1,G2为abel时,直接通过abel群的定义便证得G也是abel的.当G为abel时,由G的结构可知G1'={(g,e)| g...
抚州市18278083796： 近世代数中的题(判断结论并给出反例).1.无限环的特征一定是无限的.2.阶为P的素数的的群G一定是循环群.3.素理想一定是极大理想.4.域上多项式环是... - ？
舟伊复方：[答案] 1\无限环的特征一定是无限的;不一定, 2\阶为素数的群G一定是循环群;是的,可以证明 3\素理想一定是极大理想;不一定,环R是自身的素理想,却不是极大理想; 4\域上多项式环是主理想环;是的
抚州市18278083796： 两个子环之积是否为子环?大学《近世代数》中的一个问题,自己没有证出来,希望网友们可以帮忙!我知道:两个子群之积不一定是子群,也知道两个子环... - ？
舟伊复方：[答案] 仅供参考. 请问您的＂子环的积＂的定义是什么? 如果对于一个环 R 的子环 A,B ,定义它们的积 A*B = the set of all ab ,where a ∈A ,b∈B 似乎一般 这个 A*B 不是子环.例如取 R = 实数域 A = Z [ sqrt(2)] (sqrt 指 开平方根) B = Z [ sqrt(3)] 此时 sqrt(2) ,sqrt(...
抚州市18278083796： 近世代数的＂域＂和＂环＂的本质区别,能否举具体例子?书上的定义太抽象啦,能否举个具体的例子来说明一下＂域＂和＂环＂的具体区别呢? - ？
舟伊复方：[答案] 域的每个非零元都可逆,非零交换体即域.(1,加法群,2,乘法群,3,加法与乘法间的相容条件--分配律)而环对乘法只要求构成半群,---(1,加法群,2,乘法半群,3,加法与乘法间的相容条件--分配律)环的限制条件与域相比相对较...
抚州市18278083796： 抽象代数群、环、域之间的关系. - ？
舟伊复方：[答案] 南开大学的“抽象代数”课,讲授群、环、域、模四种代数体系.这些代数体系对学生而言,都比较抽象,不好理解.例如“群”这种代数体系,如果按照“定义-例-性质-定理”的通常模式去讲授,学生往往只记住一些词汇,难以掌握实质.因为那样讲...
抚州市18278083796： 近世代数基础中 群环域的应用是什么?... - ？
舟伊复方： 群环域是基本的概念,近世代数主要研究群环域上的性质
抚州市18278083796： 假定G是一个循环群,N是G的一个子群,证明,G/N也是循环群 近世代数的题 - ？
舟伊复方：[答案] 证明如上
