近世代数理论基础13：循环群
注：上述定义的集合不一定含有无穷多个元,可能 使
例：
1.Z关于加法" "构成一个循环群,由1生成,即
2.整数模m的剩余类加法群 是由 生成的循环群,即
注：
1.循环群在同构的意义下只有两个
2.循环群的子群仍是循环群
3.循环群是最简单的一类群,其中有限循环群比较常用
定理：设群G是由a生成的循环群,则
1.若 ,则
2.若 ,则
证明：
定理：设 是循环群, ,则 ,使
证明：
,其中 ,即 , 使 ,称i为以a为底b的离散对数,记作
注：群中仅有有限个元,故称离散,离散对数在密码学中有重要应用
例：设p是素数, , 中的乘法定义为 ,易证这是一个群,单位元为 ,且初等数论中已证它是循环群,生成元称为模p的原根
如取p=13,计算 中元的阶
解：
近世代数基础的图书目录
整环的整除理论§6 环的表示与模第四章 多项式的分裂域§1 域§2 分裂域§3 有限域（分裂域的一个应用)§4 正规扩域（分裂域续)§5 galois基本定理§6 一个例子§7 尺规作图不能问题§8 用根式解代数方程问题§9 有限域的一个应用——编码附录多元多项式环（代数几何初步)§l 代数簇§2 ...
大学数学专业学哪些内容
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近世代数理论构成
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抽象代数基础教程作者简介
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高等学校教材:近世代数内容简介
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金融数学专业开设什么课程
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有哪些值得推荐的抽象代数入门教材?
还介绍了线性群的结构、表示理论、分式理想与类群、同调代数基础、Serre猜想(与K理论相关)、结合代数与李代数初步等内容。以上内容参考百度百科-代数学 以上内容参考百度百科-《离散数学教程》以上内容参考百度百科-代数学引论 以上内容参考百度百科-《抽象代数基础教程》以上内容参考百度百科-近世代数 ...
近世代数在各学科中的应用广泛性如何?
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沈建诺福：[答案] a和a^3.a2生成的是2阶子群,e生成的是1阶群. Z4,整数除以4的余数. {1,i,-1,-i},由(根号-1)生成的循环群. {e,p,p2,p3},由正方形的旋转组成的4阶循环群.(即8阶二面体群的4阶循环子群.) C8={e,b,b2,b3,b4,b4,b6,b7},则子群也是四阶循环群. 只...
荣成市17825696555： 近世代数1证明:循环群的商群是循环群2设是G是30阶群,H是G的 ？
沈建诺福： 1. 循环群的商群是循环群. 这是显然的. 循环群G={e,x,..,x^(n-1)}, f为G到G/H的相对应的同态映射, 则循环群的商群=G/H={1,f(x),..,[f(x)]^(n-1)}, 所以循环群的商群是循环群. ...
荣成市17825696555： 《近世代数》:设G=<a>是循环群,那么(1)当a的阶是无限的,则群G同构于 - ---,(2)若a的阶为n,则G同构于 - ？
沈建诺福： (1)Z(2)Zn
荣成市17825696555： 近世代数问题 如何证明无限阶循环群等价与任何循环群? - ？
沈建诺福： 循环群就两类,一类与(Z,+)同构,一类与(Zm,+)同构.这个性质一般书上都有介绍吧,用反证法很容易导出矛盾的.这个性质成立的情况下,lz的命题自然成立了. (Zm,+)就是整数关于m的余数的等价类构成的集合,可以证明这是一个群,而且是个循环群,举例说就是(Z3,+)={0,1,2}当然这个的0是一个等价类,就是被3整除.1、2类似.
荣成市17825696555： 循环群的生成元怎么求 ？
沈建诺福： 循环群的生成元求法:循环群中元素可以由最小数目个群元的乘积生成,这组群元称为该群的生成元,生成元的数目为有限群的秩.例如D3群,D3={E,D,F,A,B,C},其中E为恒元,D、F为绕等边三角形中点逆时针旋转2π/3和4π/3,A,B,C为绕三个对称轴的翻转.其中,可取生成元为{D,A},E=D³=A²,F=D²,B=AD,C=DA;也可取生成元为{F,A},E=F³=A²,D=F²,B=FA,C=AF.秩:生成元的数目为有限群的秩.有限群的生成元的选择不唯一,但秩不变.所有生成元求法同上.
荣成市17825696555： 近世代数证明题一般出哪一章的,循环群?变换群?置换群?正规子群?群同态基本定理?理想? - ？
沈建诺福：[答案] 群在集合上的作用,Sylow定理.
荣成市17825696555： 数学 近世代数 - ？
沈建诺福： 离散数学:证明四阶群g必为循环群或klein群 2009-06-25 10:07luhongwei489 | 分类:学习帮助 | 浏览1851次 2009-06-26 15:16提问者采纳 证明 由拉格郎日定理可知,四阶群的元素的阶一定能整除群的阶4,故四阶群的元素的阶只能是1(幺元是...
荣成市17825696555： 假定G是一个循环群,N是G的一个子群,证明,G/N也是循环群 近世代数的题 - ？
沈建诺福：[答案] 证明如上
荣成市17825696555： 近世代数 1设G=(a)是循环群,试证明G的任意子集也是循环群. - ？
沈建诺福：[答案] 设子群为H,那么取h∈H,h=a^m e是单位元 建立集合 S= { n| a^n∈H,a^n≠e,n自然数} 令 k = min S ,显然k>0,那么我们说 H中的任意元素h,都能写成 a^(km)形式. 从而命题得证 如若不然,存在 l=km+s, 0使得a^l= a^(km+s) ∈H ,对于a^(km+s),连续...
荣成市17825696555： 近世代数中的题(判断结论并给出反例).1.无限环的特征一定是无限的.2.阶为P的素数的的群G一定是循环群.3.素理想一定是极大理想.4.域上多项式环是... - ？
沈建诺福：[答案] 1\无限环的特征一定是无限的;不一定, 2\阶为素数的群G一定是循环群;是的,可以证明 3\素理想一定是极大理想;不一定,环R是自身的素理想,却不是极大理想; 4\域上多项式环是主理想环;是的
