数学中，群、环、域、集分别是什么？它们的范围不同吗？
这是抽象代数的内容:
集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解，不说了。
群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”，但跟数的乘法无必然联系），要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...
例如，正有理数是乘法群，非零有理数也是乘法群，整数集在加法下成群。
注意，群不要求交换律，如果满足交换律，叫阿贝尔群（或加法群）。
环和域的要求就更高了，不必给你讲抽象的，只在数的范围内讨论：
在加/减/乘下封闭的数集是数环，如果数环在除法下也封闭，就叫数域。
某数的倍数全体（包括负的）成一数环，有理数集是最小的数域，实数集/复数集也是数域。
更深的内容参见大学课本，抽象代数/近世代数之类......
群、环、域都是满足一定条件的集合，可大可小，可 可数 也可 不可数，一个元素可以是群，『0』，三个也可以『0，1，-1』，可数的：以整数为系数的多项式（可以验证也是环），当然R也是；环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算，域的条件更强（除0元可逆），常见的一般是数域，也就是：整数，有理数，实数，复数。
其实环和域上所谓的乘法不一定就是通常说的乘法，例子相信你的书上应该有，我们只是叫它乘法而已。
只能说到这儿了，你应该是想知道一些具体的例子，定义应该是蛮清楚的。
群：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。
环(Ring)：是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。
域：定义域，值域，数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
集合：简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
范围：
群、环、域都是满足一定条件的集合，可大可小，可可数 也可 不可数，一个元素可以是群『0』，三个也可以『0，1，-1』，可数的：以整数为系数的多项式（可以验证也是环），当然R也是；环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算，域的条件更强（除0元可逆），常见的一般是数域，也就是：整数，有理数，实数，复数。
群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质。群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元） 例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数， 正数集，乘法及结合律，单位元1，逆元是倒数 环是一种群，定义的群运算（记为＋）还要满足交换律。
另外环上还有一个运算（记为×），满足结合律，同时有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由于×不一定有交换律，所以分开写。 例整数集上加法和乘法。 域是一种环，上面的×要满足交换律，除了有＋的单位元还要有×的单位元（二者不等），除了＋的单位元外其他元素都有×的逆元。 例整数集上加法和乘法，单位元0,1。
扩展资料
群、环、域代数结构：
群、环、域、向量空间、有序集等等，用集合与关系的语言给出来的统一的形式。首先，由于数学对象的多样性，有不同的类型的集。
如群表示的集为G×G.实际上，群涉及的是二元运算；而向量空间表示的集为F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空间涉及域F中的运算，域F中的元对V中元的运算，V中元的运算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法运算；向量空间的“合成”有F中的元对V中元的作用乘法，V中元的加法运算)，并且，要求“合成”适合给定的公理体系，得到的就是一个数学结构。
事实上，代数结构中，所有概念均可用集合及关系来定义，即用集合及关系的语言来表述。
做为基本概念，若仅仅着眼于“合成”(即“运算”)，则这种数学结构称为代数结构，或代数系(统).换言之，代数结构(代数系)就是带有若干合成(运算)的集合。
参考资料来源：百度百科-群
参考资料来源：百度百科-域
参考资料来源：百度百科-集
参考资料来源：百度百科-环
这是抽象代数的内容:
集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解，不说了。
群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”，但跟数的乘法无必然联系），要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...
例如，正有理数是乘法群，非零有理数也是乘法群，整数集在加法下成群。
注意，群不要求交换律，如果满足交换律，叫阿贝尔群（或加法群）。
环和域的要求就更高了，不必给你讲抽象的，只在数的范围内讨论：
在加/减/乘下封闭的数集是数环，如果数环在除法下也封闭，就叫数域。
某数的倍数全体（包括负的）成一数环，有理数集是最小的数域，实数集/复数集也是数域。
更深的内容参见大学课本，抽象代数/近世代数之类......
这是抽象代数的内容:
集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解，不说了。
群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”，但跟数的乘法无必然联系），要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...
例如，正有理数是乘法群，非零有理数也是乘法群，整数集在加法下成群。
注意，群不要求交换律，如果满足交换律，叫阿贝尔群（或加法群）。
环和域的要求就更高了，不必给你讲抽象的，只在数的范围内讨论：
在加/减/乘下封闭的数集是数环，如果数环在除法下也封闭，就叫数域。
某数的倍数全体（包括负的）成一数环，有理数集是最小的数域，实数集/复数集也是数域。
更深的内容参见大学课本，抽象代数/近世代数之类......
这是离散数学的内容，没必要了解。
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...不知道该叫什么名字,大家帮我想想.这是我们班的群,我们学环境...
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祁县18054791136： <近世代数> 群与环有何异同点?至少分别三点!!急阿!!!!! - ？
蔺背普利： 这个,有教材的话,很清楚啊:1、群G是带有一个二元运算的代数结构,环R上有两个二元运算.所以二者有本质的差别,列个一二三有点搞笑.2、若称群G中的二元运算为乘法,该乘法在G上封闭,满足结合律,乘法有单位元,每个元有逆元;若称环R上二元运算一个是加法,一个是乘法,则R对加法构成交换群,R对乘法构成半群,即只满足封闭性和结合律.环中的加法对乘法满足左右分配律.例如整数集对加法构成群,对加法和乘法构成环.
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