由圆外定直线上任意点，引圆的两条切线，求证：两切点的连线必过一定点

经过圆外一点做圆的两条切线，求两个切点连线所在直线的方程，有哪几种方法。谢谢~

把两个交点直接算出来？肯定比较繁。

比较简单的我觉得有：

设圆的方程为
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

首先，过圆上一点(x1,y1)的切线方程为
(x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r^2
同理，过圆上一点(x2,y2)的切线方程为
(x2-a)(x-a) + (y2-b)(y-b) = r^2

如果(x3,y3)是圆外一点，它向圆引切线的切点分别为(x1,y1), (x2,y2)，那么把(x3,y3)代入上面两个直线方程均成立，也就是说，(x1,y1)，(x2,y2)同时满足直线方程
(x-a)(x3 - a) + (y-b)(y3-b) = r^2
由于两点确定了一条直线，所以上式直接给出了切点弦方程。
据我所知，这是最简单的方法。而且可以拓展到圆锥曲线（二次曲线）。考试的时候这么说也是最方便的。

*在二次曲线中，上面点(x3,y3)和相应的直线称作“极点”与“极线”，具有很好的几何意义。

对于圆这个特殊的图形，可以利用几何关系。

设O(a,b),圆外P(x3,y3)（记号同上面保持一致）
切点弦必与PO垂直，所以方程具有形式：
(x3 - a)x + (y3 - b)y = t
所以O到切点弦的距离为|(x3-a)a + (y3-b)b - t|/√(x3-a)^2 + (y3-b)^2
而上述距离应该为r^2/|PO|
所以|(x3-a)a + (y3-b)b - t| = r^2
这样解出的t有两个值，还要保证O和P在直线的两侧，即
(x3 - a)a + (y3-b)b - t
与
(x3 - a)x3 + (y3-b)y3 - t
要异号，
而(x3-a)x3 + (y3-b)y3 > r^2 + (x3-a)a + (y3-b)b（圆外）
所以后者取负号，t = (x3-a)a + (y3-b)b + r^2

如图，有任意一圆⊙O，有任意一圆外定直线l，取任意一点A，由点A引⊙O两条切线，分别切⊙O于B、C，连接BC，连接OA交BC于点D，作OF⊥l，交l于点F、交BC于点E。

设⊙O半径为r，⊙O到l距离为a。

易得∠1=∠2。

∴OD/OB=OB/OA。

∴OD×OA=OB×OB=r^2。

易证△ODE∽△OFA

∴OD/OE=OF/OA，

∴OE×OF=OD×OA，

设OE/OF=x。

∴OE×OF=(a^2)*x=OD×OA=r^2。

∴x=(r^2)/(a^2)。

∵r，a为定值。

∴x为定值，即OE/OF为定值。

∵任意BC必交OF，而该点在OF上的比例为定值。

∴任意BC必交OF上的一定点，即任意BC必经过一定点。

如图取坐标系，圆x²+y²=r².直线x=a.

点B（a,0）作的切线，切点连线与x轴的交点为A（x,0）

有：x/r=r/a.x＝r²/a.A（r²/a,0）.以下证明：

直线上任意点C（a,b）引圆的两切线，两切点的连线必过A点.

以OC为直径的圆方程为：（x-a/2）²+（y-b/2）²＝（a²+b²）/4.

两个圆方程联立解得r²-a（x+y）＝0.

这是两个切点连线的方程，显然过A点。

不能吧，圆、直线、定点的位置都是不确定的，只能用解析法假设到最后消元求定点

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安义县18489399690： 由圆外定直线上任意点引圆的两切线,证明:两切点的连线必过一定点如题 - ？
时岸赛世：[答案] 如图取坐标系,圆x²+y²=r².直线x=a. 点B(a,0)作的切线,切点连线与x轴的交点为A(x,0) 有:x/r=r/a.x=r²/a.A(r²/a,0).以下证明: 直线上任意点C(a,b)引圆的两切线,两切点的连线必过A点. 以OC为直径的圆方程为:(...

安义县18489399690： 由圆外定直线上任意点,引圆的两条切线,求证:两切点的连线必过一定点 - ？
时岸赛世： 如图,有任意一圆⊙O,有任意一圆外定直线l,取任意一点A,由点A引⊙O两条切线,分别切⊙O于B、C,连接BC,连接OA交BC于点D,作OF⊥l,交l于点F、交BC于点E. 设⊙O半径为r,⊙O到l距离为a. 易得∠1=∠2. ∴OD/OB=OB/OA. ∴OD*OA=OB*OB=r^2. 易证△ODE∽△OFA ∴OD/OE=OF/OA, ∴OE*OF=OD*OA, 设OE/OF=x. ∴OE*OF=(a^2)*x=OD*OA=r^2. ∴x=(r^2)/(a^2). ∵r,a为定值. ∴x为定值,即OE/OF为定值. ∵任意BC必交OF,而该点在OF上的比例为定值. ∴任意BC必交OF上的一定点,即任意BC必经过一定点.

安义县18489399690： 自圆外一点m(x0,y0)引圆的两条切线,切点的连线叫做点m关于圆的切点弦,若圆的方程为x^2+y^2=r^2,点m(x0,y0)在圆外,求证点m关于该圆的切点弦所在... - ？
时岸赛世：[答案] 设两个切点为A(x1,y1)、B(x2,y2) 则过A点的切线为 x1x+y1y=r^2 过B点的切线为 x2x+y2y=r^2 ∵两条切线都过点 M(x0,y0) ∴ x1x0+y1y0=r^2 x2x0+y2y0=r^2 ∴点A(x1,y1)、B(x2,y2)都满足方程x0x+y0y=r^2 ∴直线AB的方程是 x0x+y0y=r^2

安义县18489399690： 过圆外一直线上任意一点做圆的两条切线那么这两个切点之间的距离会变吗?(直线与圆不相交) - ？
时岸赛世： 几何上,切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线.更准确地说,当切线经过曲线上的某点(即切点)时,切线的方向与曲线上该点的方向是相同的.平面几何中,将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线.[1]

安义县18489399690： 圆的切线长定理 - ？
时岸赛世： 从圆外一点P引圆的两条切线,切点为A、B,则有PA=PB引申:切割线定理:从圆外一点P引圆的一条切线PA(A为切点)和一条割线PBC(B、C为割线与圆的交点),则有PA^2=PB*PC

安义县18489399690： 自圆 外一点 向圆引两条切线,切点分别为 ,则 等于 - ？
时岸赛世： 原方程为,圆与轴相切,切线长,设,画图知,由此可得, ∴

安义县18489399690： 经过圆外一点做圆的两条切线,求两个切点连线所在直线的方程. - ？
时岸赛世： 设圆心为O,A(x1,y1) 过A点的切线与O垂直,而OA的斜率是(y1-b)/(x1-a) 所以A点的切线可以写成: (x1-a)*x + (y1-b)*y + C = 0 C是常数 注意到(x1,y1)满足圆的方程,所以(x1-a)(x1-a)+(y1-b)(y1-b)=r^2 而(x1,y1)也满足切线方程,所以(x1-a)x1 + (y1-b)y1+C=0 比较得C = -a(x1-a) - b(y1-b) - r^2 整理后就是 (x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r^2 至于你最后一个“为什么”,我想我的解答里已经写得很清楚了,是哪里不明白呢?

安义县18489399690： 过圆 外一点 ,引圆的两条切线,切点为 ,则直线 的方程为________. - ？
时岸赛世：[答案] 过圆外一点,引圆的两条切线,切点为,则直线的方程为________. 设切点为,则的方程为,的方程为,则

安义县18489399690： 从圆外一点引圆的两条切线,若两切线的夹角为60°,两切点的距离为12,则圆的半径为 - ？
时岸赛世：[答案] 从圆外一点引圆的两条切线,若两切线的夹角为60°,两切点的距离为12,则有圆外一点和两切点形成的三角形为等边三角形,圆外一点到两切点的距离都为12.连接圆外一点和圆心,则圆外一点、圆心、一个切点形成的三角形为有一...

安义县18489399690： 过圆外一点做圆的切线怎么做? - ？
时岸赛世： 假设圆外一点是P,圆心为O. 作法:一.连结PO. 二.以PO为直径作半圆交已知圆O于点A, 三.过P,A两点作一直线, 则直线PA就是所要作的圆的切线. 切线长定理,是初等平面几何的一个定理.在圆中,在经过圆外一点的切线,这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长.它指出,从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.