已知正项数列{an},{bn}满足：对任何正整数n，都有an,bn,a(n+1）成等差数列，bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列，

已知正项数列｛an｝｛bn｝满足，对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列~

1.证明：
因为bn,a（n+1）,b（n+1）成等比数列，所以[a（n+1）]²=bnxb（n+1）(n∈N*)
a（n+1）=√[bnxb(n+1)]
所以an=√[bnxb(n-1)] (n≥2)
因为an,bn,a(n+1)成等差数列，所以2bn=an+a(n+1) (n∈N*)
所以2bn=√[bnxb(n-1)]+√[bnxb(n+1)]=√bn[√b(n-1)+√b(n+1)] (n≥2)
2√bn=√b(n-1)+√b(n+1) （n≥2）
所以数列{√bn}是等差数列。
2.解：
因为a1=10，a2=15，所以2b1=a1+a2=25,b1=25/2,√b1=5√2/2
因为an=√[b(n-1)xbn],(n≥2),所以a2=√b1√b2,√b2=a2/√b1=3√2
所以d=√b2-√b1=√2/2，所以√bn=5√2/2 +(n-1)(√2/2)=2√2+√2n/2
所以bn=(2√2+√2n/2)²=n²/2+4n+8(n≥2)
因为当n=1时，解得b1=25/2,所以bn=n²/2+4n+8(n∈N*)
an=√bnxb(n-1)=√(2√2+√2n/2)²[2√2+√2(n-1)/2]²
=(2√2+√2n/2)[2√2+√2(n-1)/2]
=8+2n+2(n-1)+n(n-1)/2
=n²/2+7n/2+6 (n≥2)
因为当n=1时，解得a1=10,所以an=n²/2+7n/2+6 (n∈N*)
3.解：
因为Sn=1/(a1)+1/(a2)+1/(a3)+....1/(an)(n∈N*),2aSn<2-(bn/an)恒成立
所以2aSn<2-(bn/an)，所以a<[2-(bn/an)]/2Sn (n∈N*)
因为Sn=1/(a1)+1/(a2)+1/(a3)+....1/(an)(n∈N*)
=1/(a1)+1/(√b1√b2)+1/(√b2√b3)+....1/[√b(n-1)√bn]
=1/10+√2(1/√b1-1/√b2+1/√b2-1/√b3+1/√b3-1/√b4+...+1/√b(n-1)-1/√bn)
=1/10+√2(1/√b1-1/√bn)
=1/10+√2[√2/5-1/(2√2+√2n/2)]
=1/10+[2/5-1/(2+n/2)]
=1/2-2/(n+4)
因为bn/an=√bn/√b(n-1)
=(2√2+√2n/2)/[2√2+√2(n-1)/2]
=(8+n)/(8+n-1)
=(n+8)/(n+7)
所以[2-(bn/an)]/2Sn=[2-(n+8)/(n+7)]/[1-4/(n+4)]
=[(n+6)/(n+7)]/[n/(n+4)]
=(n+6)(n+4)/n(n+7)
因为对任何正整数n,不等式2aSn<2-(bn/an)恒成立。所以a小于(n+6)(n+4)/n(n+7)的最小值，即
a＜(1+6)(1+4)/(1+7)
＜35/8。

数列{an}是等差数列，an=a1+(n-1)×d
{bn}是等比数列，bn=b1×q^(n-1)
c1=a1-b1=0，a1=b1
c2=a2-b2= a1+d -a1×q= 1/6 ，d+a1×(1-q) = 1/6 ①
c3=a3-b3 = a1+2d-a1×q^2= 2/9 ②
c4=a4-b4=a1+3d-a1×q^3= 7/54 ③
②-①，可得d+a1×q×(1-q) =1/18 ④
③-②，可得d+a1×q^2×(1-q) = -11/54 ⑤
①-④，可得a1×(1-q) ^2= 1/9 ⑥
④-⑤，可得a1×q×(1-q) ^2 = 7/27 ⑦
⑦/⑥，可得q= 7/3，将q=7/3代入⑥中，
可得a1= 1/16 =b1，将a1= 1/16和q= 7/3代入①中，
可得d= 1/4
所以，an=1/16 + (n-1)/4 = (4n-3)/16
{an}的前n项和= [(a1+an)×n]/2 = (2n^2-n)/16
bn=1/16×(7/3)^(n-1)
{bn}的前n项和= b1×(1-q^n)/(1-q)= 1/16 × 1/(7/3-1) × [(7/3)^n-1]
=3×[(7/3)^n-1]/64
数列{cn}的前n项和Sn={an}的前n项和 - {bn}的前n项和
=(2n^2-n)/16 - 3×[(7/3)^n-1]/64
={(8n^2-4n) - 3×[(7/3)^n-1]}/ 64

1。令Cn=根号Bn 则由bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列知，AN+1=CN乘以CN+1
由an,bn,a(n+1）成等差数列，2CN平方=AN + AN+1 = CN-1乘以CN + CN乘以CN+1
即2CN=CN-1 + CN+1
亦即 2根号BN=根号BN-1 + 根号BN+1
证毕
2。根据第一问知，数列CN 为等差数列
易求 C1=5除以根号2 C2=3乘以根号2 所以公差为 根号2除以2（即根号2分之一）
所以数列CN通项公式为 CN=5除以根号2 + (N-1)乘以根号2分之一
由bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列，AN=根号BN 乘以 根号bn+1 = cn 乘以 cn+1 = （N+4)(N+5)除以2
由an,bn,a(n+1）成等差数列，又已求出AN，易得BN=(N+5)平方除以2

3。
AN=(N+4)(N+5)除以2
所以1除以AN = 2（ 1/（n+4)-1/（N+5) )
所以SN = 2 ( 1/5 - 1/ (n+5) ）
最后一问化简为
A < (N+3)(N+5) / 4N(N+4) 恒成立
即求 (N+3)(N+5) / 4N(N+4） 最小值
以下略。。（相当于求函数 F(N)=(N+3)(N+5) / 4N(N+4）的最值 ）

a(n+1)=√bnb(n+1) an,bn,a(n+1） 即√bnb(n+1) +√b(n+2)b(n+1) =2b(n+1) 同时除以√b(n+1)
得到√bn+√b(n+2)=2√b(n+1) √bn

---

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 已知正项数列{an},{bn}满足:对任何正整数n,都有an,bn,a(n+1)成等差数列,bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列,且a1=10,a2=15求证:数列(根号Bn)是等差数... - ？
汪阅百沫：[答案] 1.令Cn=根号Bn 则由bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列知,AN+1=CN乘以CN+1由an,bn,a(n+1)成等差数列,2CN平方=AN + AN+1 = CN-1乘以CN + CN乘以CN+1即2CN=CN-1 + CN+1 亦即 2根号BN=根号BN-1 + 根号BN+1证毕2.根据第一问知,...

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 已知正项数列{an},{bn}满足:对任意正整数n,都有an,bn,a(n+1)成等差数列,bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列且a1=10,a2=15,(1)求数列{√bn}是等差数列,(2)... - ？
汪阅百沫：[答案] 1、an,bn,a(n+1),所以,2bn=an+a(n+1)推出,2(bn+1)=a(n+1)+a(n+2)bn,a(n+1),b(n+1),所以,a(n+1)^2=bn*b(n+1),推出,a(n+1)=根号下【bn*b(n+1)】,a(n+2)=根号下【b(n+1)*b(n+2)】,带入2(bn+1)=a(n+1)+a(n+2)并化简,得到...

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 已知正项数列{an}{bn}满足:对任意正整数n,都有an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=10,a2=15.(1)求证:{√bn}是等差数列;(2)求... - ？
汪阅百沫：[答案] (1)an+1=√bnbn+1,2bn=an+an+1,所以√bn-√bn-1=√bn+1-√bn,{bn}是等差数列 (2)由a1=10,a2=15可得√b1=12.5,因为可求a3=21,所以√b2=18,公差为5.5,√bn=7+5.5n,bn=.,an+1=√bnbn+1 (3)算了,我打字太慢,等会儿给你发个图吧

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 已知正数数列{an}和{bn}满足:对任意n(n属于N*),an,bn,a成等差数列,且a(n+1)=根号bn*b(n+1).设a1=1,a2=2,求{an}和{bn}的通项公式 - ？
汪阅百沫：[答案] an,bn,a(n+1)成等差数列得,an+a(n+1)=2bn -----① 由a(n+1)=√[bn*b(n+1)] -----② 递推得an=√[b(n-1)*bn] -----③ ②③代入①得,√[bn*b(n+1)]+√[b(n-1)*bn]=2bn 上式两边同除以√bn得 √b(n+1)+√b(n-1)=2√bn, 即√b(n+1)-√bn=√bn-√b(n-1) ...

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 已知正项数列{an}{bn}满足,对任意正整数n,都有an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列且a1=10,a2=15求证:数列(根号Bn)是等差数列求数... - ？
汪阅百沫：[答案] 1.证明:因为bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列,所以[a(n+1)]²=bnxb(n+1)(n∈N*)a(n+1)=√[bnxb(n+1)] 所以an=√[bnxb(n-1)] (n≥2)因为an,bn,a(n+1)成等差数列,所以2bn=an+a(n+1) (n∈N*)所以2bn=√[bnxb(...

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 正数数列{an}和{bn}满足:对于任意的自然数n,an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列.(1)证明:数列{bn}为等差数列;(2)若a1=1,b1=2,a2=... - ？
汪阅百沫：[答案] 证明:(1)∵an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列∴2bn=an+an+1①,an+12=bn•bn+1②.由②得an+1=bn•bn+1③.将③代入①得,对任意n≥2,n∈N*,有2bn=bn−1•bn+bn•bn+1.即2bn=bn−1+bn+1,∴{b...

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 问道数学题.正数数列{an}和{bn}满足:对任意自然数n,an,bn,a(n+1)成等差数列,bn.a(n+1)成等比数列.证明数列{根号bn}为等差数列 - ？
汪阅百沫：[答案] 你的题没打全吧 应该是:正数列{an}和{bn}满足对任意自然数n,an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列 解析如下: a(n+1)=√[bn*b(n+1)] 2bn=an+an+1 2bn=√[bn*b(n-1)]+√[bn*b(n+1)] 2√bn=√b(n-1)+√b(n+1) 所以数列{√bn}为等差数列

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 已知正项数列an.bn满足:对任意正整数n,都有an,bn,a(n+1)成等差数列,bn、a(n+ - ？
汪阅百沫： bn、a(n+1)、b(n+1)成等比 所以 a(n+1)^2=bn*b(n+1) 所以 a(n+1)=√[bn*b(n+1)] 所以 an=√[b(n-1)*bn] 因为 an、bn、a(n+1)成等差 所以 2bn=an+a(n+1) 所以 2bn=√[b(n-1)*bn]+√[bn*b(n+1)] 所以 2√bn=√b(n-1)+√b(n+1) 所以 数列{√bn}是等...

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 已知正项等比数列{an}中,a1=3,a3=243,若数列{bn}满足bn=log3an,求数列{1/bnbn+1}的前n项和Sn - ？
汪阅百沫：[答案] 设{an}的公比为q,则q>0 ∵,a1=3,a3=a1q²=243 ∴q²=81 ,q=9 ∴an=3*9^(n-1)=3^(2n-1) ∴bn=log₃an=log₃3^(2n-1)=2n-1 ∴1/[bnb(n+1)]=1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] ∴Sn=1/2[1-1/3+1/3-1/5+.+1/(2n-1)-1/(2n+1)] =1/2[1-1/(2n+1)] =n/(2n...

孟连傣族拉祜族佤族自治县17322275337： 已知正项数列{an}{bn}满足,对任意正整数n,都有an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列 - ？
汪阅百沫： 1.证明:因为bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列,所以[a(n+1)]²=bnxb(n+1)(n∈N*) a(n+1)=√[bnxb(n+1)] 所以an=√[bnxb(n-1)] (n≥2) 因为an,bn,a(n+1)成等差数列,所以2bn=an+a(n+1) (n∈N*) 所以2bn=√[bnxb(n-1)]+√[bnxb(n+1)]=√bn[√b(n-1)+√...