已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方，求证数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式！

设{an}是正项数列，其前n项和Sn满足：Sn=1/2(an+1/an),求证{Sn的平方}为等差数列、、{an}的通项公式~

由Sn=1/2(an+1/an)
得：S1=a1=1/2(a1+1/a1)
2a1=a1+1/a1
a1=1/a1
(a1)*(a1)=1
a1=1（{an}是正项数列） S1=a1=1
S2=a1+a2=1/2(a2+1/a2)
将a1=1代入得
a2等于根号2-1；S2等于根号2；
同理a3等于根号3-根号2；S3等于根号3；
可见Sn的平方为等差数列。以下用完全归纳法证明。
即：Sn的平方是等差数列.且公差是1。

n=1时，4S1=（a1+1)^2 a1=1
n≥2时，4Sn=(an+1)^2
4S(n+1)=[a(n+1)+1]^2 可以化简为 4Sn=[a(n+1)-1]^2
两式相减
0=[a(n+1)-an-2][a(n+1)+an]
{an}为正项数列 所以 a(n+1)-an=2
数列为以a1=1为首项，d=2的等差数列
所以 an=2n-1
bn=an^2+2an+3=(2n-1)^2+2(2n-1)+3=4n^2+2
M=am^2+bn^2+m^2+n^2-2am*bn-2mn
=(am-bn)am+(bn-am)bn+(m-n)^2
=(bn-am)^2+(m-n)^2
=(4n^2-2m+3)^2+(m-n)^2

4n^2-2m+3=0 和m=n 两个方程最小的距离的平方
忘记怎么求2跳直线直接的距离了 反正思路是这样的

解答：
（1）
sn=[(an+1)/2]的平方
∴ S1=[(a1+1)/2]²
∴ 4a1=(a1+1)²
∴ (a1-1)²=0
∴ a1=1
（2）
sn=[(an+1)/2]²
∴ 4Sn=[a(n) +1]²
∴ 4S(n-1)=[a(n-1)+1]² n≥2
两个式子相减
4an=[a(n)+1]²-[a(n-1)+1]²
∴ 4a(n)=a(n)²+2a(n)-a(n-1)²-2a(n-1)
∴ 2a(n)+2a(n-1)=a(n)²-a(n-1)²
∴ 2[a(n)+a(n-1)]=[a(n)-a(n-1)]*[a(n)+a(n-1)]
∵ an>0
∴ 2=a(n)-a(n-1)
∴ {an}是等差数列，公差为2，首项为1
∴ an=1+2(n-1)
即 {an}的通项公式是an=2n-1

Sn - Sn-1 = [(an + 1)² - (an-1 + 1)² ] / 4 = an
(an + 1)² - (an-1 + 1)² = 4an
(an - 1)² - (an-1 + 1)² = 0 根据平方差公式，得
(an + an-1) [an - a(n-1) - 2] = 0
由于{an}是正项数列，故
an - a(n-1) - 2 = 0
即 an - an-1 = 2 （为常数）
所以 {an}是等差数列
a1 = [(a1 + 1)/2]² ，解得a1 = 1
an = a1 + (n-1)d = 2n - 1

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龙湾区13534631928： 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n,满足2Sn=an+1,则数列{an}的通项公式an=______. - ？
汉趴盐酸：[答案] ∵2Sn=an+1,∴an=2Sn-1,∵2Sn=an+1,∴4Sn=(an+1)2那么4Sn-1=(an-1+1)2两式相减得4an=an2+2an-an-12-2an-1即2(an+an-1)=an2-an-12=(an+an-1)(an-an-1)∵正项数列{an}中an>0,∴an-an-1=2an=2S1-1=2a1-1...

龙湾区13534631928： 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an+1/an=2Sn,n∈N+求证:数列{Sn²}是等差数列 - ？
汉趴盐酸：[答案] an=sn-sn-1,原式=sn-sn-1+1/(sn-sn-1)=2sn, 1/(sn-sn-1)-(sn+sn-1)=0 (1-sn^2+sn-1^2)/(sn-sn-1)=0 sn^2-sn-1^2=1

龙湾区13534631928： 己知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足:an的平方=2Sn - an(n属于自然数)(1)求{an}通项公式 - ？
汉趴盐酸：[答案] (An)^2=2Sn-An => (A(n-1))^2=2S(n-1)-A(n-1) => (An)^2-(A(n-1))^2=2Sn-An-2S(n-1)+A(n-1) => (An+A(n-1))*(An-A(n-1))=2An-An+A(n-1) => (An+A(n-1))*(An-A(n-1))=An+A(n-1) 正项数列 => An+A(n-1)=0不成立 => An-A(n-1)=1 又A1=1 => An=n

龙湾区13534631928： 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn、an、1成等差数列.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)若bn=log2an+2,求数列{1bnbn+1}的前n项和为Tn. - ？
汉趴盐酸：[答案] (1)证明:由题意Sn、an、1成等差数列, ∴2an=Sn+1, 当n=1时,2a1=S1+1, ∴a1=1, 当n≥2时,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1, 两式相减得an=2an-2an-1, ∴an=2an-1,n≥2, ∵an≠0 ∴ an an-1=2 因此数列{an}是以1为首项,以2为公比的等比数列, ...

龙湾区13534631928： 已知正项数列 an 的前n项和为sn,a1=1,且an=√sn十√sn一1 - ？
汉趴盐酸： 数列是正项数列,数列前n项和Sn>0 S(n+1)-Sn=a(n+1)>0 S(n+1)>Sn,数列前n项和随n增大单调递增.n≥2时,an=Sn-S(n-1)=√Sn+√S(n-1) [√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)]-[√Sn+√S(n-1)]=0 [√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)-1]=0 Sn...

龙湾区13534631928： 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,Sn^2 - Sn - 1^2=an^3 - ？
汉趴盐酸： 证:n≥2时,Sn²-S(n-1)²=an³ Sn²-(Sn-an)²=an³ Sn²-Sn²+2anSn-an²=an³2anSn=an³+an² 数列为正项数列,an>0 an≠0,等式两边同除以2an Sn=an²/2 +an/2 n≥2时,an=Sn-S(n-1)=an²/2 +an/2 -a(n-1)²/2 -a(n-1)/2 an²-a(n-...

龙湾区13534631928： 已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,点(an,Sn)在曲线(x+1)2=4y上.求{an}的通项公式 - ？
汉趴盐酸：[答案] 点(an,Sn)在曲线(x+1)2=4y上 4Sn=(an+1)^2 4S[n-1]=(a[n-1]+1)^2 相减 4an=an^2-a[n-1]^2+2an-2a[n-1] 2{an-a[n-1]}=(an+a[n-1])(an-a[n-1]) 正数 an-a[n-1]=2 等差数列 d=2 a1=1 an=2n-1

龙湾区13534631928： 数列,已知正项数列An的前n项和为Sn.a1=2.且4Sn=An乘A(n+1),求An的通项公式 - ？
汉趴盐酸：[答案] 当n=1时,s1=a1=2 当n》2时,4S(n-1)=A(n-1)*An; Sn-S(n-1)=An,4Sn-4S(n-1)=An*A(n+1)-A(n-1)*An 即4an=an(an+1-an-1) ∵an≠0 ∴an+1-an-1=4 ∵a1=2得a2=5 奇数项成以4为公差的等差数列;偶数项成以4为公差的等差数列 an=5n-3

龙湾区13534631928： 已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n满足4Sn=(an+1)^2,且数列b1,b2 - b1,b3 - b2,...bn - bn - 1是首项为1,公比为1/2的等比数列.求证数列{an}为... - ？
汉趴盐酸：[答案] 由4Sn=(an+1)^2 得4S(n+1)=(a(n+1)+1)^2 两式相减 4a(n+1)=[a(n+1)+an+2]*[a(n+1)-an] 化简2(a(n+1)+an)=(a(n+1)+an)(a(n+1)-an) 因为{an}是 正项数列 所以a(n+1)-an=2 ,即数列是等差数列,公差是d=2. 在4Sn=(an+1)^2 中,令n=1 得到a1=1 所以...

龙湾区13534631928： 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn,an,1/2成等差数列1求数列an的通项公式,若an方=2的负bn次方,设cn=bn/an,求数列cn的前n项和Tn - ？
汉趴盐酸：[答案] 由题意 2an=Sn+1/2 Sn=2an-1/2 n=1时,S1=a1 a1=2a1-1/2 a1=1/2 S(n+1)-Sn=a(n+1) 2a(n+1)-1/2-[2an-1/2]=a(n+1) a(n+1)=2an 因此{an}是等比数列,首项1/2,公比2 an=(1/2)*2^(n-1) =2^(n-2) Sn,an,1/2成等差数列 2an=1/2+Sn 2an-1=1/2+Sn-1 2a1...