勾股定理的5种证明方法
加菲尔德证法、加菲尔德证法变式、青朱出入图证法、欧几里得证法、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、赵爽弦图证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法、梅文鼎证法、向明达证法、杨作梅证法、李锐证法
例,如下图:
设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。
因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四边形BDLK=BAGF=AB²。
同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC²。
把这两个结果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是个正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。
扩展资料
性质:
1、勾股定理的证明是论证几何的发端;
2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,即它是第一个把几何与代数联系起来的定理;
3、勾股定理导致了无理数的发现,引起第一次数学危机,大大加深了人们对数的理解;
4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程,它引出了费马大定理;
5、勾股定理是欧氏几何的基础定理,并有巨大的实用价值,这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠,被誉为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。1971年5月15日,尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票,这十个数学公式由著名数学家选出的,勾股定理是其中之首。
1、做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从下图可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即a的平方加b的平方,加4乘以二分之一ab等于c的平方,加4乘以二分之一ab,整理得a的平方加b的平方等于c的平方。
2、以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上。
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.
∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于a+b的平方。
∴a加b的平方等于4乘二分之一ab,加上c的平方。 .
∴a的平方加b的平方等于c的平方。
3、以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。把这四个直角三角形拼成如图所示形状。
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º,
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º,
∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90º.
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于b减a的平方。
∴ 4乘二分之一ab加上,b减a的平方等于c的平方。
∴ a^2+b^2=c^2(说明a^2为a的平方)。
4、以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形,
它的面积等于二分之一c^2.
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1/2(a+b)^2.
∴1/2(a+b)^2=2x1/2ab+1/2c^2. .
∴a^2+b^2=c^2.
5、做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED,
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.
又∵ AB = BE = EG = GA = c,
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.
即 ∠CBD= 90º.
又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
a^2+b^2=S+2 x 1/2xab
c^2=S+2x1/2 x ab
∴ a^2+b^2=c^2.
参考资料:百度百科-勾股定理
证法1
作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED, ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°, BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 a^2+b^2=c^2
证法2
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP‖BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点 F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC, ∴ ∠MPC = 90°, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90°, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°, ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, ∴ ∠QBM = ∠ABC, 又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
证法3
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, ∴FI=a, ∴G,I,J在同一直线上, ∵CJ=CF=a,CB=CD=c, ∠CJB = ∠CFD = 90°, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD , 同理,RtΔABG ≌ RtΔADE, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J在同一直线上, a^2+b^2=c^2
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE, 交AB于点M,交DE于点L. ∵ AF = AC,AB = AD, ∠FAB = ∠GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, ∵ ΔFAB的面积等于, ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证,矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即a^2+b^2=c^2
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法如下:求证:勾股定理,即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。证明:分两种情况来讨论,即两条直角边长度不相等与相等。两条直角边长度不相等。如图,分别设直角三角形的边长为a、b、c,(a
勾股定理证明方法24种
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勾股定理的证明方法
4×(ab\/2)+(b-a) 2 =c 2 化简后便可得: a 2 +b 2 =c 2 亦即:c=(a 2 +b 2 ) (1\/2)证法4 如图26-5(项名达图),在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ(图26-5)。可以证明(从略),GF...
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勾股定理有几种证明方法?
从三本书中选两本送给小丽小青各一本一共有多少种送法:6种。
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利用切割线定理证明:在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理,得 AC^2=AE·AD =(AB+BE)(AB-BD)=(c...
勾股定理证明
比毕达哥拉斯要早了五百多年.其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52).所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的.在稍后一点的《九章算术一书》中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达.书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦...
勾股定理
中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。 勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带...
请写3个证明勾股定理的方法
【证法5】(梅文鼎证明)做四全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别a、b ,斜边长c. 把它们拼成如图那样的个多边形,使d、e、f在条直线上. 过c作ac的延长线交df点p.∵ d、e、f在条直线上, 且rtδgef ≌ rtδebd,∴ ∠egf = ∠bed,∵ ∠egf + ∠gef = 90°,∴ ∠bed + ...
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