在圆O中，已知圆O的半径为13，弦AB‖cd,AB=24,CD=10，则sin∠ABC=

⊙0的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是______~

如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA=OC=13，则AE=12AB=12，CF=12CD=5，∵AB∥CD，∴E、O、F三点共线，在Rt△AOE中，OE=OA2?AE2=132?122=5，在Rt△OCF中，OF=OC2?CF2=132?52=12，当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OF+OE=12+5=17；当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离=OF-OE=12-5=7．所以AB与CD的距离是17或7．故答案为17或7．

作两弦的垂线,利用勾股定理:
圆心到AB的距离:13^2-(24/2)^2=25 开根号=5
圆心到CD的距离:13^2-(10/2)^2=144 开根号=12
则AB和CD的距离为:12-5=7

解：过点O作OE垂直AB于E，过O作OF垂直CD于F
连接OB=OC
设∠ABC=a，∠OBC=b
因为AB平行CD
所以∠ABC=∠BCD=a
因为OB=OC
所以∠OBC=∠OCB=b
在直角三角形OBE中，有垂径定理知道点E为AB中点，OB=13,BE=12,则OE=5
sin(a-b)=5/13,cos(a-b)=12/13
同理，在直角三角形OCF中，sin(a+b)=12/13,cos(a+b)=5/13
cos2a=cos(a+b+a-b)
=cos(a+b)cos(a-b)-sin(a+b)sin(a-b)
=5/13×12/13-12/13×5/13
=0
所以2a=90度
a=45度
sin∠ABC=sin45=√2/2

九年级数学第23章
（ 圆 ）

一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分)：
1.下列说法正确的是( )
A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆
C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆
2.在同圆或等圆中，如果 ＝ ，则AB与CD的关系是( )
(A)AB＞2CD； (B)AB＝2CD； (C)AB＜2CD； (D)AB＝CD；
3.如图(1),已知PA切⊙O于B,OP交AB于C,则图中能用字母表示的直角共有( ) 个
A.3 B.4 C.5 D.6

4.已知⊙O的半径为10cm,弦AB‖CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为( )
A.2cm B.14cm C.2cm或14cm D.10cm或20cm
5.在半径为6cm的圆中,长为2 cm的弧所对的圆周角的度数为( )
A.30° B.100 C.120° D.130°
6.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是( )
A.80° B.100° C.120° D.130°
7. ⊙O的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB是⊙O弦,则 等于( )
A.25 cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.200 cm2
8.如图(3),半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC,取BC=AB,OC交⊙O于E,AC 交⊙O于点D,则 和 的度数分别为( )
A.15°,15° B.30°,15° C.15°,30° D.30°,30°
9.若两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2=r2+2Rd, 则两圆的位置关系为( )
A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交
10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )
A.180° B.200° C.225° D.216°
二、填空题:(每小题4分,共20分)：
11.一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 .
12.如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为______cm.
13.在⊙O中,弦AB所对的圆周角之间的关系为_________.
14.如图(4), ⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE‖AB， 的度数是40°，则∠BOD＝ .

(4)

15. 点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________.
16.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长6 ,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是__________.
17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____
18.如果圆弧的度数扩大2倍,半径为原来的 ,则弧长与原弧长的比为______.
19.如图(5),A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC ‖OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________.
20.如图(6),已知扇形AOB的圆心角为60°,半径为6,C、D分别是 的三等分点, 则阴影部分的面积等于_______.
三、解答题(第21~23题，每题8分,第24~26题每题12分，共60分)
21.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
试说明：AC=BD。

22. 如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D, 求图形阴影部分的面积.

23. 如图所示,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.

24.如图所示,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时是否要采取紧急措施?

25. 如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径．（1）请你添加一个条件，使图中的四边形ABCD成等腰梯形，这个条件是 （只需填一个条件）。（2）如果CD＝ AB，请你设计一种方案，使等腰梯形ABCD分成面积相等的三部分，并给予证明．

26. 在射线OA上取一点A，使OA＝4cm，以A为圆心，作一直径为4cm的圆，问：过O的射线OB与OA的锐角α取怎样的值时，OA与OB(1)相离；(2)相切；(3)相交。

《圆》复习测试题参考答案
一、选择题：
1、D 2、C 3、D 4、C 5、A
6、D 7、C 8、B 9、B 10、D
二、填空题：
11、90° 12、4 13、相等或互补 14、110° 15、 16、相切
17、4cm或16cm 18、3:1 19、 π 20、2π
三、解答题：
21、证明：过O点作OE┴CD于E点
根据垂径定理则有CE=DE，AE=BE
所以AE-CE=BE-DE
即：AC=BD
22、解：连接AD
AB是直径， ∠ADB=90°
△ABC中AC=AB=2, ∠BAC=90° ∠C=45°
CD=AD=
= × × =1
弦AD=BD, 以AD、BD和它们所对的劣弧构成的弓形是等积形
= =1
23、解：△AED是Rt△，理由如下：
连结OE
AE平分∠BAC ∠1=∠2
OA=OE ∠1=∠3
∠2=∠3 AC//OE
ED是⊙O的切线 ∠OED=90°
∠ADE=90° △AED是Rt△。
24、解：设圆弧所在的圆的圆心是O，连结OA，OA ，ON，ON交AB于点M，则P、N、M、O四点共线。
在Rt△AOM中，AO2=OM2+AM2
R2=（R-18）2+302
R=34
在Rt△A ON中，A O2=ON2+A N2
R2=（R-4）2+A N2
A N2=342-302
A N2=16
A B =32＞30
所以不需要采取紧急措施。
25、AD=BC或 或 或∠A=∠B
解：连结OC，OD，则 = =
OA=OB=CD，CD//AB
四边形AOCD和四边形BCDO都是平行四边形。
= =
= =
26、解：AC=AO•Sina
当AC=2cm时，锐角a=30°， 当a=30°时，该圆与OB相切；
当0°＜a＜90°时，Sina随a的增大而增大。
30°＜a＜90°时，AC＞2cm，该圆与OB相离；0°＜a＜30°时，该圆与OB相交。

〖圆的定义〗

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d
扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S

〖圆和其他图形的位置关系〗

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗

圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗

一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl

【圆的解析几何性质和定理】
〖圆的解析几何方程〗

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：

当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；
当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；
半径r，直径d

在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2

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黄埔区18991659737： 在圆O中,已知圆O的半径为13,弦AB‖cd,AB=24,CD=10,则sin∠ABC= - ？
拓鹏鲑鱼：[答案] 1圆O的半径为13,弦AB‖cd,AB=24,CD=10∠ABC=∠BCD ,∠ABC=∠ADC∠BCD=∠ADC ∠ACB=∠BDA,∠BCD+∠ACB=∠BDA+∠ADC∠ACD=∠BDCCD=CD,三角形ACD\BCD全等,AC=BD等腰梯形ABDC2过O作OM 垂直AB于M, ON垂直...

黄埔区18991659737： 已知圆O的半径为13厘米,一条弦的弦心距为5厘米,求这条弦的长. - ？
拓鹏鲑鱼： √13^ 2-5^ 2=12 12*2=24

黄埔区18991659737： 已知圆O的半径为13cm,弦AB平行CD,AB=24cm,CD=10cm,求弦AB、CD之间的距离 - ？
拓鹏鲑鱼： 解:过点O作AB的垂线,交AB于点E,交CD于点F根据垂径定理及勾股定理可得OE=12,OF=5当AB、CD在圆心同侧时,AB、CD间的距离为12-5=7cm当AB、CD在圆心两侧时,AB、CD间的距离为12+5=17cm

黄埔区18991659737： 已知圆O的半径为13cm,弦AB‖CD,AB=10cm,CD=24cm.求AB、CD间的距离 - ？
拓鹏鲑鱼： 设AB中点为E,CD中点为F 连接EO、FO 由垂径定理可知EO⊥AB,FO⊥CD 因为AB‖CD 所以E、O、F三点共线 连接OA、OC EO=根号(13²-(10÷2)²)=12cm FO=根号(13²-(24÷2)²)=5cm AB、CD间的距离=EF=EO+FO=12+5=17cm

黄埔区18991659737： 已知圆O的半径为13厘米,弦AB为24厘米. 一 求圆心O到弦AB的距离. 二 如果弦AB - ？
拓鹏鲑鱼： 连接OA,OC 过圆心O做弦AB和CD的垂线,交AB于E,交CD于F 所以OE平分弦AB,OF平分弦CD AE=24/2=12厘米,在直角三角形OAE中,AE=12厘米,斜边OE=13厘米 根据勾股定理,OE=5厘米 CF=10/2=5厘米,在直角三角形OCF中,CF=5厘米,斜边OF=13厘米 根据勾股定理,OF=12厘米 AB和CD的距离即为EF的长度 当弦AB和CD在圆心同一侧时,EF=OF-OE=12-5=7厘米 当弦AB和CD分别在圆心的两侧时,EF=OF+OE=12+5

黄埔区18991659737： 第22题,在半径为13的圆O中,弦AB//CD,弦AB和CD的距离为7,若AB=24,则CD的长为多少.无图多解, - ？
拓鹏鲑鱼：[答案] 半径是13 弦的一半是12 所以圆心到弦的距离是根号下(13方-12方)=5 AB和CD平行,所以O到CD的距离是7-5=2 所以CD=2根号(13方-2方)=2根号165

黄埔区18991659737： 已知圆心O的半径为13,弦AB=24,P是弦AB上任意一点,求OP的取值范围. - ？
拓鹏鲑鱼： 直径为26,弦AB小于直径. 所以,当P点在A点或B点上,OP最大,最大值是半径. 当OP与AB垂直时最小(垂线段最短),此时AP=BP=12,OP=根号下(OP^2-AP^2)由上可得,OP的取值范围是[5,13]

黄埔区18991659737： 2 - 在圆o中,半径为13,弦BC为24,则以BC为底边的圆内接等腰三角形的腰长为( ); - ？
拓鹏鲑鱼：[答案] “Mo_oL”:答内接等腰三角形的腰长为18这个内接等腰三角形ABC,BC为底边长为24过A 点作BC的垂线AD,必通过圆心O且平分BC.在三角形DOC中,角CDO为直角,DC=12,0C=13,根据直角三角形二直角边的平方和等于斜边的平方,可求...

黄埔区18991659737： 在半径为13的圆O中,弦AB平行于弦CD,弦AB和弦CD的距离为7,若AB=24,则CD长为? - ？
拓鹏鲑鱼： 两个答案

黄埔区18991659737： 已知圆O的半径为13厘米,弦AB为24厘米. 一 求圆心O到弦AB的距离. 二 如果弦AB已知圆O的半径为13厘米,弦AB为24厘米.一 求圆心O到弦AB的距离.二 如... - ？
拓鹏鲑鱼：[答案] 连接OA,OC过圆心O做弦AB和CD的垂线,交AB于E,交CD于F所以OE平分弦AB,OF平分弦CDAE=24/2=12厘米,在直角三角形OAE中,AE=12厘米,斜边OE=13厘米根据勾股定理,OE=5厘米CF=10/2=5厘米,在直角三角形OCF中,CF=5厘米,...