已知数列An满足a1=1，an=a1+2a2+..........+（n-1)an-1，求通项公式。要有详细步骤

已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3....+(n-1)an-1 (n>=2),则{an}的通项是什么~

an=a1+2*a2+3*a3....+(n-1)*a(n-1)
a(n+1)= a1+2*a2+3*a3....+(n-1)*a(n-1)+n*an
作差：a(n+1) -an = n*an
a(n+1)=(n+1)*an
利用累积法：
当n=1时，a2=2*a1
当n=2时，a3=3*an
当n=3时，a4=4*a3
--------
当n-1时，an=n*a(n-1)
相乘：a2*a3*a4* ----- * a(n-1)*an=( 2*a1)*(3*a2)*(4*a3)* ---- *(n*a(n-1))
an= 2*3*4* --- *n *a1=1*2*3*---- *n= n!

a(n+1)=a(1)+2a(2)+...+na(n), a(2) = a(1) = 1.
a(n+2)=a(1)+2a(2)+...+na(n)+(n+1)a(n+1) = a(n+1) + (n+1)a(n+1) = (n+2)a(n+1),
a(n+2)/(n+2)! = a(n+1)/(n+1)!,
{a(n+1)/(n+1)!}是首项为a(2)/2 = 1/2,的常数数列。

a(n+1)/(n+1)! = 1/2,
a(n+1) = (n+1)!/2,

{a(n)}的通项为，
a(1)=1,
n>=2时，a(n) = n!/2.

如果是a2=a1=1,那么叠乘的工作进行到a2即可,n=1时单独写通项公式.

最后通项公式的形式分n≥2和n=1两种情况，写成分段函数的形式就可以了。

an=a1+2a2+..........+（n-1)an-1
所以a(n-1)=a1+2a2+..........+（n-2)an-2
两式相减得
an-a(n-1)=(n-1)an-1
于是得
an/a(n-1)=n

补：刚开始还真没注意，
an/a(n-1)=1是在n大于等于3的情况下成立的，其中a3=3,
即n大于等于3时，an=n!/2
但a1=a2=1
这是一个分段的数列

an/a(n-1)=[a1+2a2+........+(n-2)a(n-2)]/a(n-1)+n-1
an/a(n-1)=a(n-1)/a(n-1)+n-1
q=n
a2=a1
所以an=a1q^(n-1)=a2q^(n-1)=n^(n-1)(n>=2)

---

温宿县13443299036： 已知数列{an}满足a1=1,an=a(n - 1)+1/n(n - 1)[n>=2],则通项公式an. - ？
藏琴舒萨：[答案] 原式可化为 an=a(n-1)+1/(n-1)-1/n an+1/n=a(n-1)+1/(n-1) an+1/n=a1+1/1=2 所以an=2-1/n

温宿县13443299036： 已知数列{an}满足a1=1,an=a1+1/2a2+1/3a3+…+1/(n - 1)an - ？
藏琴舒萨： an=a1+(1/2)a2+(1/3)a3+...+[1/(n-2)]a(n-2)+[1/(n-1)]a(n-1) a(n-1)=a1+(1/2)a2+(1/3)a3+...+[1/(n-2)]a(n-2) an=a(n-1)+[1/(n-1)]a(n-1)=a(n-1)[n/(n-1)] an/n=a(n-1)/(n-1) a1/1=1/1=1 数列{an/n}是各项都为1的常数数列 an/n=1 an=n n=1时,a1=1,同样满足. 数列{an}的通项公式为an=n.

温宿县13443299036： 已知数列{an}满足a1=1,(a(n - 1)+1)/an=(a(n - 1)+1)/(1 - an),(n∈N*,n>1). - ？
藏琴舒萨： 已知数列{an}满足a1=1, a(n-1)/an=(a(n-1)+1)/(1-an),(n∈N*,n>1). 设bn=(a的n次方)/an,(a∈R),求数列{bn}的前n项和Tn解:因为 a(n-1)/an=(a(n-1)+1)/(1-an)得到an=(a(n-1)/(2a(n-1)+1) 则可以得到an的通项为an=1/(2n-1) (这里的n∈N*,n>...

温宿县13443299036： 已知数列{an}满足a1=1,an=a(n - 1)+[1/n(n - 1)](n≥2),写出该数列的前5项及它的一个通项公式. - ？
藏琴舒萨： 因为an-a(n-1)=[1/n(n-1)],可以递推:an-a(n-1)=[1/n(n-1)]=1/(n-1)-1/n----------n a(n-1)-a(n-2)=1/(n-2)-1/(n-1)------------------n-1 a(n-2)-a(n-3)=1/(n-3)-1/(n-2)-----------------n-2------- a4-a3=1/3-1/4---------------------------------4 a3-a2=1/2-1/3---------------------------...

温宿县13443299036： 已知数列{an}满足a1=1,an=3(次方n - 1)+a(项数n - 1)(n≥2) 求an... 详解 谢谢 - ？
藏琴舒萨： 已知数列{an}满足a1=1,an=3^(n-1)+a(n-1)(n>=2) 证:an=3^(n-1)+a(n-1) --->an-a(n-1)=3^(n-1) 同样a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2) ……a(n-2(-a(n-3)=3^(n-3) …………………… ……a3-a2=3^2 ……a2-a1=3^1 ……a1=1 以上的n个等式的两边相加得到 an=1+3+3^2+……+3^(n-1)=(3^n-1)/(3-1)=(3^n-1)/2.证完

温宿县13443299036： 已知数列an满足a1=1,an=a(n - 1)+n,求an通项公式. - ？
藏琴舒萨： an =a(n-1) +n an -a(n-1) = n an -a1 = n+(n-1)+(n-2)+....+2 an = 1+2+3+...+n = n(n+1)/2

温宿县13443299036： 已知数列{an}满足a1=1,an=a(n - 1)+1/a(n - 1)(n≥2,n∈N*) - ？
藏琴舒萨： 首先由a1=1,an=a(n-1)+1/a(n-1)(n>=2)确定an各项均为正数,对原式两边进行平方,整理得(an)^2-(a(n-1))^2=2+1/(a(n-1))^2,采用累加法得,(an)^2-(a1)^2=2(n-1)+1/(a1)^2……+1/(a(n-1))^2,(an)^2=2n-1+1/(a1)^2……+1/(a(n-1))^2...

温宿县13443299036： 已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=(1/4)n(n∈N*),sn - ？
藏琴舒萨： Sn=a1+4a2+4^2a3...+4^(n-1)an 4Sn=4a1+4^2a2+4^3a3...+4^nan 5Sn=[a1+4a2+4^2a3...+4^(n-1)an]+[4a1+4^2a2+4^3a3...+4^nan]=a1+{4(a1+a2)+4^2(a2+a3)+...+4^(n-1)*[a(n-1)+an]}+4^nan=(1+4^nan)+{4*(1/4)^1+(4^2)*(1/4)^2+...+[4^(n-1)]*[(1/4)^(n-1)]}=1+4^nan+(n-1)*1=4^nan+n 于是5Sn-4^nan=n

温宿县13443299036： 已知数列{an}满足a1=1,an=a(n - 1) - /3a(n? ？
藏琴舒萨： An=[A(n-1)]/[3A(n-1)+1] ==> 1/An =3 +1/A(n-1) ==> {1/an}为等差数列, 首项 =1/A1 =1, 公差 =3 1/An =1/A1 +3(n-1) =3n-2 ==> An =1/(3n-2) Bn =An*A(n+1) =1/(3n-2)(3n+1) =[1/(3n-2) -1/(3n+1)]/3 ==> Sn =[1 -1/(3n+1)]/3 = n/(3n+1)

温宿县13443299036： 已知数列{an}满足a1=1,an=(an - 1)/(3(an - 1)+1), (n>=2,n为正整数) - ？
藏琴舒萨： an=[a(n-1)]/[3a(n-1)+1] 【取倒数】1/[an]=[1/a(n-1)]+3,即:1/[an]-1/[a(n-1)]=3=常数,则数列{a/[an]}是以1/(a1)=1为首项、以d=3为公差的等差数列,则:1/[an]=1+3(n-1)=3n-2 得:an=1/(3n-2) bn=an[a(n+1)]=1/[(3n-2)(2n+1)]=(1/3)[1/(3n-2)-1/(3n+1)] 则:Sn=(1/3)[1/1-1/(3n+1)]=n/(3n+1)