三角形的重心要怎么证明?
重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点. 三角形重心
证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分. 证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形ABC中，D为AC边上中点，E为AB边上中点，连接BD，CE，DE。BD，CE交于点O。找到OB，OC的中点G，H，连接GH。这样DE，GH分别为三角形ABC，OBC的中位线。所以DE，GH都平行且等于BC的一半。于是DGHE为平行四边行。所以BG等于GO，于是也等于OE，即OE等于二分之一BE。所以重心把中线以1：2分割。证明就这些，可惜不能插图。
1)重心分中线成两段,它们的长度比为2:1.2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.[证明: 用等底等高的三角形面积相等.高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍底2倍的三角形面积]
2)材质均匀的三角形物体,他的重心就在几何重心上.也就是说,你可以从重心穿过一条线,手提这条线,而三角形物体保持水平.
三角形的五心
一 定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。这些性质都是可以直接用的啊
如何证明三角形重心的性质?
已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点. 三角形重心 证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2、...
如何用几何语言证明三角形的重心性质?
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）\/3，（Y1+Y2+Y3）\/3）。5、以重心为起点，以三角形三...
怎么证明三角形的重心
对于任何三角形。重心分成的比例上：下=2：1 以下两种方法都可以证明：1、两条中线相交，连接中位线，取中线被分成的两段中长的那段的中点，四中点连成四边形，证它是平行四边形，用对角线互相平分就行；2、两条中线相交，连接中位线，中位线等于第三边的一半；证下面两三角形相似，相似比为1\/2...
一般证明三角形重心的方法有哪些
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1\/3AA1，OB1=1\/3BB1，OC1=1\/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1\/3h 则，S(△BOC)=1\/2×h1a=1\/2×1\/3ha=1\/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1\/3S(△...
三角形重心的一些定理的证明,数学高手进~!!!
1.重心是三角形中线的交点 三角形ABC中BD和CE分别是中线，相交于F 连接DE，因为DE是中位线 所以DF:FB=DE:BC=1:2 即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 3.设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^...
如何确定三角形的重心?
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小(等边三角形）。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。5、三角形内到三边距离之积最大的点。介绍 三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。
为什么三角形三边中点的连线的交点就是重心?
证明如下：数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。比如燕尾定理：有S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。比如燕尾定理：有S(△AOB)=S(△AOC)，又S(...
三角形重心性质
三角形的重心是指三角形三条中线的交点，它被称为重心或质心。一、三角形的重心的重要性质 重心到三个顶点的距离相等：从重心到三个顶点的距离相等，即重心到每条边的中点的距离相等。三个重心到对边中点的线段交于一点：连接重心和三个对边中点的线段交于一点，这个点即为重心。重心将中线按比例分成2...
三角形重心定理如何证明
OD=2。∴向量AO=(y\/2)a+(1-y)b=1\/3a+1\/3b 又因向量AE=AB+BE=a+1\/2BC= a+1\/2(AC-AB)= a+1\/2(b-a)=1\/2a+1\/2b 从而向量AO=2\/3向量AE 即向量AO与向量AE共线，所以A、O、E三点共线 且有AO：OE=2。因此，三角形ABC的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
...此点称为三角形的重心.重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1...
设三角形为ABC重心为G三条中线为AD,BE,CF 则向量AD=1\/2(向量AB+向量AC)向量BE=1\/2(向量BA+向量BC)向量CF=1\/2(向量CA+向量CB)所以向量AD+向量BE+向量CF=0 同理向量GD+向量GE+向量GF=0 因为向量AG+向量BG+向量CG+向量GD+向量GE+向量GF=向量AD+向量BE+向量CF 所以向量AG+向量BG+向量CG...
储苗瑞新：[答案] 重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例. 已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F. 求证:F为AB中点. 三角形重心 证明:根据燕尾定理,S△...
深泽县18343367436： 三角形重心的性质证明 - ？
储苗瑞新： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G. 求证:EG=1/2CG 证明:过E作EH∥BF交AC于H. ∵AE=BE,EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理) 又∵ ...
深泽县18343367436： 怎样证明三角形的重心是三条中线的交点 - ？
储苗瑞新：[答案] 你用硬纸片任意剪个三角形,找出三条中线的交点,用根针顶住该点,三角形就能平衡.这就是重心的物理意义.
深泽县18343367436： 如何证明三角形重心特点 - ？
储苗瑞新： 1)重心是三角形三条中线的交点 ; 2)重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍. 3)若三角形三个顶点坐标为(x1,y1) (x2,y2) (x3,y3), 则重心坐标为[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3]
深泽县18343367436： 三角形重心是什么?怎样证明三点共面和共线,用空间向量又怎么证? - ？
储苗瑞新： 重心:在三角形中,三条中线交于一点,该点叫做这一三角形的重心.性质:三角形的重心把每一条中线分成两部分,这两部分之比为2:1,即重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的二倍.外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.也是三角形外接圆的圆心 .性质:三角形的外心到各顶点的距离相等.垂心:在一个三角形中,三条边上的高(或其延长线)交于一点,该点叫做这一三角形的垂心. 内心:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.也是三角形内切圆的圆心.性质:内心到两边的距离相等. 旁心:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.旁心就是三角形旁切圆的圆心.
深泽县18343367436： 如何证明三角形重心的性质? - ？
储苗瑞新： 三角形ABC中,D为AC边上中点,E为AB边上中点,连接BD,CE,DE.BD,CE交于点O.找到OB,OC的中点G,H,连接GH.这样DE,GH分别为三角形ABC,OBC的中位线.所以DE,GH都平行且等于BC的一半.于是DGHE为平行四边行.所以BG等于GO,于是也等于OE,即OE等于二分之一BE.所以重心把中线以1:2分割. 证明就这些,可惜不能插图.
深泽县18343367436： 请给出三角形的重心的性质的证明(三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍) - ？
储苗瑞新：[答案] 三角形的重心是三边中线交点,连接任意两边的中点可以得到一对“X”形的相似三角形.因为连接了两边的中点,故连接的线段是中位线,因为中位线等于底边一半.即底边是中位线两倍.利用相似的性质就得到重心与顶点的距离等于它与对边中点的...
深泽县18343367436： 如何证明三角形的重心是每条中线的三等分点. - ？
储苗瑞新：[答案] 中点,重心条件是已知的.1.取CE中点F,连DF.则由中位线得DF//BE.又因为EF=1/3AF,还是由中位线得到DG也是=1/3AD.同理可证其他两条.
深泽县18343367436： 三角形重心公式x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3是怎样证明的呢 - ？
储苗瑞新：[答案] 内接三角形的重心公式是在坐标系中证明的.证明:取一三角形的一点为原点,重心是: 三角形三边中垂线的交点,取三角形的三点横坐标分别为X1.X2.X3.线段X1X2=线段X2X3. 所以重心横坐标就是X=X1+X2+X3.同理三角形纵坐标为Y=Y1+Y2+Y3.
