三角形重心的一些定理的证明，数学高手进~！！！！！！

求证阿波罗尼斯圆定理全过程数学高手进~

定义
在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB=
λ，
当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=〔2λ／（λ^2-1）〕AB。
证明
我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN＝AP:BP
，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。
性质
由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：
设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：
b^2+c^2=a^2/2+2ma^2；
c^2+a^2=b^2/2+2mb^2；
a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。
（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。

坐标轴两点距离公式，任意一点到某直线的距离，两条直线的平行和垂直的性质，射影定理。切割线定理。割线定理。角平线分对边成比例定理。韦达定理。等差数列通项公式以及求和公式。等比数列通项公式。合分比定理。等比定理。海伦公式

1.重心是三角形中线的交点
三角形ABC中BD和CE分别是中线，相交于F
连接DE，因为DE是中位线
所以DF:FB=DE:BC=1:2
即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
3.设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为（x，y）
则该点到三顶点距离平方和为：
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值为
x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

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鄂托克旗19260358126： 三角形重心证明(详细) - ？
祗冉艾克：[答案] 重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例. 已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F. 求证:F为AB中点. 三角形重心 证明:根据燕尾定理,S△...

鄂托克旗19260358126： 数学中重心的概念是什么? - ？
祗冉艾克：[答案] 三角形的重心 重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例. 三角形重心已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F.求证:F为AB中点. 证明:根据燕...

鄂托克旗19260358126： 关于三角形重心的几个重要定理是什么 - ？
祗冉艾克： 2,等积: 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

鄂托克旗19260358126： 关于三角形重心的几个重要定理是什么我要的是定理比如:重心是三角形三边中线的交点,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1; - ？
祗冉艾克：[答案] 2,等积: 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

鄂托克旗19260358126： 关于三角形重心如何用 梅涅劳斯定理、塞瓦定理、燕尾定理 证明重心分中线比为2:1 - ？
祗冉艾克：[答案] 梅涅劳斯定理证明重心分中线比为2:1 已知:△ABC中,中线AD,CE交于O, 求证:AO/OD=2:1, 证明:由梅涅劳斯定理, (AE/EB)(BC/CD)(DO/OA)=1, 即AO/OD=2/1

鄂托克旗19260358126： 三角形重心的性质证明 - ？
祗冉艾克： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G. 求证:EG=1/2CG 证明:过E作EH∥BF交AC于H. ∵AE=BE,EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理) 又∵ ...

鄂托克旗19260358126： 高中数学中,三角形的重心有什么定理? - ？
祗冉艾克： 重心定理三角形的三条中线交于一点,这点叫做三角形的重心. 三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍; 三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等;. 三角形的重心也是它的中点三角形的重心; 推论1:2n边形的各条中线(若有重合,只算一条)相交于一点,各中线被该点分为:(n-1)∶1的两条线段,这点叫n边形的重心. 推论2:设G为△ABC的重心,M、N分别为BC、CA的中点,则四边形GMCN和△GAB的面积相等.

鄂托克旗19260358126： 关于三角形的重心的一些相关知识 - ？
祗冉艾克：[答案] 定义 三角形三条边的中线的交于一点,该点叫做三角形的重心.(三中线交于一点可用燕尾定理证明) 三角形重心的性质 设⊿ABC的重心为O,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2. 1、重心到顶点的距离与重心到对边交点的距离之比为2:1. ...

鄂托克旗19260358126： 怎么证明三角形的重心垂心外心共线 - ？
祗冉艾克：[答案] 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线. 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线. 欧拉线的证明: 作△...