一般证明三角形重心的方法有哪些

如何证明三角形重心的几个定理？~

证明：
在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b
向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b
则1-x= y/2， x/2=1-y，
解得x=2/3,y=2/3.
向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD
即BO：OF=CO：OD=2。
∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b
又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)
= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b
从而向量AO=2/3向量AE
即向量AO与向量AE共线，所以A、O、E三点共线
且有AO：OE=2。
因此，三角形ABC的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
扩展资料：
三角形重心定理的性质：
1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5，三角形重心是三角形三条中线的交点,当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

分子中f(x,y)是面密度函数，如果三角形是均匀的那么f(x,y)是个常数。分母是三角形薄板的质量。

重心证明课本上就有，但如果题目一说某某点是三角形的重心，你要联想到重心有这些性质，由于这些性质是被证明了的，所以是可以当定理用的，做题的时候写一句依据重心的性质得出。。。即可
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一

　　三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

　　过E作EH平行BF。

　　AE=BE推出AH=HF=1/2AF

　　AF=CF

　　推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG

　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二

　　证明方法：

　　在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

　　3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

　　证明方法：

　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2

　　=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2

　　=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时

　　上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

　　最终得出结论。

　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，

　　即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

　　空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3

　　5、三角形内到三边距离之积最大的点。

　　6。在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0 ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

　　7.设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

可以利用向量的思想，这样也会减少计算
O是三角行的重心等价于0与三角形三个顶点组成的向量之和等于0向量
若O是的重心，则故;
为的重心.

说不明白

---

注根据中发号文及其它相关规定大兴15288787379： 三角形重心证明(详细) - ？
校季醋氨：[答案] 重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例. 已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F. 求证:F为AB中点. 三角形重心 证明:根据燕尾定理,S△...

注根据中发号文及其它相关规定大兴15288787379： 如何证明三角形重心特点 - ？
校季醋氨： 1)重心是三角形三条中线的交点 ; 2)重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍. 3)若三角形三个顶点坐标为(x1,y1) (x2,y2) (x3,y3), 则重心坐标为[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3]

注根据中发号文及其它相关规定大兴15288787379： 怎样证明三角形的重心是三条中线的交点 - ？
校季醋氨：[答案] 你用硬纸片任意剪个三角形,找出三条中线的交点,用根针顶住该点,三角形就能平衡.这就是重心的物理意义.

注根据中发号文及其它相关规定大兴15288787379： 怎么证明三角形的重心垂心外心共线 - ？
校季醋氨： 一、问题的提出 我们已学完三角形和判断三角形全等的方法:SSS,SAS,ASA,AAS,HL.并且还知道三角形有5个心:重心,垂心,内心,外心,旁心.及其他们的定理:例如重心, 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中...

注根据中发号文及其它相关规定大兴15288787379： 怎么证明三角形的重心垂心外心共线 - ？
校季醋氨：[答案] 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线. 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线. 欧拉线的证明: 作△...

注根据中发号文及其它相关规定大兴15288787379： 如何用向量证点为三角形重心, - ？
校季醋氨： 方法1: 设A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),再设BC中点为D,我们知道,重心G是中线上的一个三等分点,所以AG=2 GD, D的坐标是((x2 + x3)/2, (y1 + y2)/2), 再设G(x, y),所以AG = (x - x1, y - y1),GD = ((x2 + x3)/2 - x, (y2 + y3)/2 - y),代...

注根据中发号文及其它相关规定大兴15288787379： 如何证明三角形重心的性质? - ？
校季醋氨： 三角形ABC中,D为AC边上中点,E为AB边上中点,连接BD,CE,DE.BD,CE交于点O.找到OB,OC的中点G,H,连接GH.这样DE,GH分别为三角形ABC,OBC的中位线.所以DE,GH都平行且等于BC的一半.于是DGHE为平行四边行.所以BG等于GO,于是也等于OE,即OE等于二分之一BE.所以重心把中线以1:2分割. 证明就这些,可惜不能插图.

注根据中发号文及其它相关规定大兴15288787379： 三角形重心是什么?怎样证明三点共面和共线,用空间向量又怎么证? - ？
校季醋氨： 重心:在三角形中,三条中线交于一点,该点叫做这一三角形的重心.性质:三角形的重心把每一条中线分成两部分,这两部分之比为2:1,即重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的二倍.外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.也是三角形外接圆的圆心 .性质:三角形的外心到各顶点的距离相等.垂心:在一个三角形中,三条边上的高(或其延长线)交于一点,该点叫做这一三角形的垂心. 内心:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.也是三角形内切圆的圆心.性质:内心到两边的距离相等. 旁心:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.旁心就是三角形旁切圆的圆心.

注根据中发号文及其它相关规定大兴15288787379： 如何求证三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点求证三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点.求救 - ？
校季醋氨：[答案] 从中间点向三边作垂线 用勾股定理将中间点到三角形三顶点距离的平方和化成各个小部分 可以证明