数列an前n项和为Sn，a1＝1，已知对于所有正整数n都有Sn＝n（a1＋an）／2，证明an为等差数列。

已知数列前n项和Sn=n(a1+an)/2，如何证明该数列为等差数列~

解:第一种方法:
①an+1=Sn+1-Sn
②an=Sn-Sn_1(n≥2)①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn_1-2Sn
=(n+1)(a1+an+1)/2+(n-1)(an+an_1)/2-n(a1+an)
=1/2[(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan]
可得2(an+1-an)=(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan(n≥2)
整理可得2(n-1)an=(n-1)an+1+(n-1)an_1(n≥2)
即2an=an+1+an_1(n≥2)
根据等差数列的特性可知:此数列为等差数列
第二种方法:
已知等差数列前n项的和为
Sn=na1+n(n-1)d/2(n≥1,d为等差)
=na1/2+[na1+n(n-1)d]/2
=na1/2+n[a1+(n-1)d]/2
=na1/2+nan/2
=n(a1+an)/2
即等差数列Sn=na1+n(n-1)d/2=n(a1+an)/2(n≥1,d为等差)
所以前n项和Sn=n(a1+an)/2的数列为等差数列

an=Sn-Sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2
2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1
(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1 (1)
同理
(n-1)*(an+1)=nan-a1 (2)
(1)-(2)
得到
(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)
2an=an-1+an+1
所以an+1-an=an-an-1
得证

证明：∵S[n]=n(a[1]＋a[n])/2
∴2S[n]=na[1]＋na[n]
∵2S[n+1]=(n+1)a[1]＋(n+1)a[n+1]
∴2S[n+1]-2S[n]=a[1]+(n+1)a[n+1]-na[n]
2a[n+1]=a[1]+(n+1)a[n+1]-na[n]
(n-1)a[n+1]=na[n]-a[1]
即：a[n+1]/n-a[n]/(n-1)=a[1]*{1/n-1/(n-1)}
有：a[n]/n-a[n-1]/(n-2)=a[1]*{1/(n-1)-1/(n-2)}
......
a[3]/2-a[2]/1=a[1]*{1/2-1/1}
将上述各项叠加，得：
a[n+1]/n-a[2]=a[1](1/n-1)
∴a[n+1]=na[2]+a[1]-na[1]
∴a[n]=(n-1)a[2]+a[1]-(n-1)a[1]
∴a[n+1]-a[n]=a[2]-a[1]
∴数列{a[n]}是等差数列
【其实a[1]是何值，与证明无关】

Sn＝n（a1＋an）／2
Sn-1＝(n-1)（a1＋an-1）／2
2an=n（a1＋an）-(n-1)（a1＋an-1）
=a1+nan-(n-1)an-1
(n-2)an=(n-1)an-1-1
(n-3)an-1=(n-2)an-2-1
(n-2)an=(2n-4)an-1-(n-2)an-2
(n-2)an-(n-2)an-1=(n-2)an-1-(n-2)an-2
an-an-1=an-1-an-2
an为等差数列

一楼最后一步除以(n-2),就是假定n≠2,可以这样假定吗？

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汉滨区19812675800： 已知正向数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an=根号下Sn+根号下(Sn - 1) 求An的通项 - ？
解党十维：[答案] 证明:(1)当n=1时,S1=a1=1,√S1=1 当n≥2时,an=(√Sn+√Sn-1)/2=Sn-Sn-1 (√Sn+√Sn-1)/2=(√Sn-√Sn-1)(√Sn+√Sn-1) ∴√Sn-√Sn-1=1/2 ∴数列{√Sn}是以首项1,公差1/2的一个等差数列 (2)由(1)得:√Sn=√S1+(n-1)d=1...

汉滨区19812675800： 设数列an的前n项和为sn,a1=1,且数列sn是以C(C>0)为公比的等比数列,求an - ？
解党十维：[答案] 这样的 因为a1=S1=1 Sn是以C(C>0)为公比的等比数列,而S1的首项就是S1=1 所以Sn=1*c^(n-1)=c^(n-1) ==> S=c^(n-2) 而an=Sn-S 所以an=c^(n-1)-c^(n-2)=c*c^(n-2)-c^(n-2)=(c-1)*c^(n-2)

汉滨区19812675800： 已知数列已知数列{an}前n项和为Sn,a1=1,an+1=3Sn=1(n>=1),{an}中的通项公式an和Sn - ？
解党十维：[答案] 一楼说废话的那人真讨厌,我就经常在网上问,有什么错啊 a(n+1)=3Sn ① an=3S(n-1) ② 联立上两式解得 a(n+1)=4an 如果an+1=3Sn=1说明an和Sn都是常数数列 所以无解,我感觉题貌似有错.. 如果省略=1的条件的话 这就是一个等比数列 a(n+1)/an...

汉滨区19812675800： 数列An的前n项和为Sn,A1=1,An+2Sn - 1=n,则:S2011=? - ？
解党十维：[答案] an+2S(n-1)=n (1) a(n+1)+2Sn=n+1 (2) (2)-(1):a(n+1)-an+2an=1 a(n+1)+an=1 又因为a1=1 所以单数项为1 偶数项为0 所以S2011=1006

汉滨区19812675800： 已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= 答案是(3/2)^n - 1 不是 - ？
解党十维： ^你的题目有可能是:Sn=2a(n+1) Sn=2[S(n+1)-Sn]3Sn=2S(n+1) S(n+1)/Sn=(2/3)=q S1=a1=1 Sn=1*(2/3)^(n-1) 如果不是:Sn=2a(n+1) 再追问

汉滨区19812675800： 设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Sn/n+2(n - 1) (1)求an的通项公式 - ？
解党十维： 用a[n]表示第n项1)a[n]=S[n]/n+2(n-1) S[n]=na[n]-2n(n-1) S[n-1]=(n-1)a[n-1]-2(n-1)(n-2) 当n≥2时两式相减:a[n]=S[n]-S[n-1]=na[n]-(n-1)a[n-1]-4(n-1) 整理可得:a[n]-a[n-1]=4 {a[n]}是以a[1]=1,d=4的等差数列 于是:a[n]=1+4(n-1)=4n-32)S[n]/n=2n-1,S1/1=1,{S[n]/n}是等差数列,首项为1,公比为2 S[1]+S[2]/2+…+S[n]/n-(n-1)^2=n^2-(n-1)^2=2n-1=2009 ∴n=1005.

汉滨区19812675800： 已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (1)求数列an的通项公式 (2)求数列nan的的前n项和 - ？
解党十维：[答案] a(n+1)=2Sn S(n+1)-Sn=2Sn S(n+1)=3Sn S1=1,Sn=3^(n-1) an=Sn-S(n-1)=3^(n-1)-3^(n-2)=2*3^(n-2),n>=2 n=1时,an=1 所以 n=1,an=1 n>=2,an=2*3^(n-2) Sn=3^(n-1)

汉滨区19812675800： 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1, a²n+1=Sn+1+Sn 求{an}的通项公式 - ？
解党十维： 解:(1) a2²=S2+S1=a1+a2+a1=2a1+a2=2*1+a2=a2+2 a2²-a2-2=0(a2+1)(a2-2)=0 a2=-1(舍去)或a2=2 a(n+1)²=S(n+1)+Sn a(n+2)²=S(n+2)+S(n+1) a(n+2)²-a(n+1)²=S(n+2)-Sn=a(n+2)+a(n+1) [a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+2)...

汉滨区19812675800： 数列an的前n项和为Sn a1=1 对任意的n>=2 3Sn - 4 an 2 - 3S(n - 1)/2总成等差数列 求 a2 a3的值 求an通项公式 - ？
解党十维：[答案] 3Sn-4 + 2-3S(n-1)/2 = 2*anSn-Sn-1 = an,3/2S(n-1) + an = 2 -(1)a2 = 2 - 3/2S1 = 1/2 同理a3 = -1/4(1)式写成 Sn+1/2S(n-1)=2乘(-1/2)可得(-1/2)(S(n-1)+1/2S(n-2))=2*(-1/2)累加求和 写不下了

汉滨区19812675800： 数列(An)的前n项和为Sn,且A1=1,An+1=1/3Sn,n=1,2,3......,求A2,A3,A4的值及数列(An)的通项公式 - ？
解党十维： 首先我觉得你的题目有点问题,n不能取1,只能从2开始.a2+1=1/3*s2=1/3*(a1+a2),因为a1=1,代入解得a2=-1;然后a3+1=1/3*s3=1/3*(a1+a2+a3),因为a1和a2都知道,所以代入解得a3=-3/2;同理得到a4=-9/4; An+1=1/3*sn.....(i); An-1 +1=...