已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 求证:aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量)

若aOA+bOB+cOC=0，那么0是三角形ABC的什么心~

O是三角形的内心。
可利用向量来解题（其中e是单位向量）：
设AB=c*e1,AC=b*e2,BC=a*e3
其中e1,e2,e3是AB ，AC ，BC 方向的单位向量,
aOA+bOB+cOC=0
即aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=0
即(a+b+c)OA+bAB+cAC=0
所以OA=-(bAB+cAC)/(a+b+c)=-(bc*e1+bc*e2)/(a+b+c)=-bc(e1+e2)/(a+b+c)
即OA=u(e1+e2),其中 u=-bc/(a+b+c)
所以OA是角BAC的角平分线
同理可以证得,OB是角度ABC的角平分线,OC是角度ACB的角平分线,
所以O是三角形的内心。

大写字母表示的都是向量
由于AB/c+AC/b向量的模是2cos(A/2)，所以AO=|AO|*(AB/c+AC/b)/[2cos(A/2)]
而|AO|=r/sin(A/2) （设r是内切圆半径）
S△ABC=1/2*r(a+b+c)=1/2bcsinA，得r/sinA=bc/(a+b+c)
则AO=r*(AB/c+AC/b)/[2cos(A/2)sin(A/2)]=r*(AB/c+AC/b)/sinA=(AB/c+AC/b)bc/(a+b+c)
与AO=λ（AB/c+AC/b）比较，得λ=bc/(a+b+c)

证明：

设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，

∵O是内心

∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE

过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，

所以四边形OMAN是平行四边形

根据平行四边形法则，得

向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO

∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

得证

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琼山区17699527301： 已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 求证:aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量) - ？
叱干竖珍母： 证明: 设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F, ∵O是内心 ∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE 过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M, 所以四边形OMAN是平行四边形 根据平行四边形法则,得 向量OA =向量OM+向量ON =(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO =(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO =(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO ∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0 得证

琼山区17699527301： 向量中如何表示内心 - ？
叱干竖珍母： 已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 则aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量)证明:设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为O. |BC|=a,|AC|=b,|AB|=c aOA+bOB+cOC =aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA) =(a+b+c)OA+b(...

琼山区17699527301： 已知点o是△abc的内心,od⊥bc于点d,求证:∠doc=1\2∠a+∠b - ？
叱干竖珍母： ∵O是三角形内心 ∴OC平分∠ 即∠OCD=1/2∠ACB=1/2(180°-∠A-∠B)=90°-1/2∠A-1/2∠B ∵OD⊥BC ∴∠DOC=90°-∠OCD =90°-(90°-1/2∠A-1/2∠B) =1/2∠A+1/2∠B =1/2(∠A+∠B)

琼山区17699527301： 已知点o是三角形ABC的内心,求角BOC与角A的关系 - ？
叱干竖珍母： 解:∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-∠ABC/2-∠ACB/2=180°-(∠ABC+∠ACB)/2=180°-(180°-∠A)/2=90°+∠A/2 如仍有疑惑,欢迎追问. 祝:学习进步!

琼山区17699527301： 已知点O为△ABC的内心,∠ABC=50°,∠ACB=70°,∠BOC=______. - ？
叱干竖珍母：[答案] 如图, ∵点O为△ABC的内心, ∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB, ∴∠1= 1 2∠ABC= 1 2*50°=25°,∠2= 1 2∠ACB= 1 2*70°=35°, ∴∠BOC=180°-∠1-∠2=120°. 故答案为120°.

琼山区17699527301： 在三角形ABC中,AB=BC=6,AC=9.设O是三角形ABC的内心,若AO向量=pAB向量+qAC向量,则p/q的值为多少? - ？
叱干竖珍母： O是三角形ABC的内心,则:aOA+bOB+cOC=0 而:OB=OA+AB,OC=OA+AC,故:aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=(a+b+c)OA+bAB+cAC=0,即:AO=bAB/(a+b+c)+cAC/(a+b+c) 故:p=b/(a+b+c),q=c/(a+b+c),故:p/q=b/c=|AC|/|AB|=9/6=3/2

琼山区17699527301： 已知O为三角形ABC的内心,角A=50度,试求角BOC的度数 - ？
叱干竖珍母： 内心 是三个内角的平分线的交点.∠BOC=180-( ∠B+ ∠C)=180- (180-∠A)=90+ ∠A=115

琼山区17699527301： 在三角形ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,O为三角形ABC的内心,且向量AO=mAB+nBC(AO,AB,AC都为向量)则m+n=? - ？
叱干竖珍母：[答案] ∵O为△ABC内角平分线的交点,设|AB|=c,|AC|=b,|BC|=a,则有 a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=0,.(1) 又:向量OB=向量(OA-BA),向量OC=向量(OA-CA),向量AC=向量(AB+BC), 由(1)式得, a*向量OA+b*向量(OA-BA)+c*向...

琼山区17699527301： 已知点o是三角形ABC的内心,角BOC=155度,则角A等于多少?拜托各位大神 - ？
叱干竖珍母： 因为o是三角形ABC的内心 所以∠OBC=1/2∠ABC,∠OCB=1/2∠ACB 因为∠BOC+∠OBC+∠OCB=180° 所以∠OCB+∠OBC=180°-155°=25° 所以∠ABC+∠ACB= 2X25°=50° 所以∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-50°=130°

琼山区17699527301： O为等边三角形ABC的内心,设AB=a,则当图形绕着点O旋转时,AB BC CA在旋转过程中所形成的面的面积是多少?形成的面是什么面? - ？
叱干竖珍母：[答案] 是圆 这个圆的半径为OA,因为是等边三角形,内心为三条角平分线的交点,等边三角形三线合一,也为高线,因为AB=a,所以,(AO连起来延长到BC交BC于D)BO=2倍根号3/3a,圆的面积为:派R2=12/9a方派