已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 求证:aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量)
O是三角形的内心。
可利用向量来解题(其中e是单位向量):
设AB=c*e1,AC=b*e2,BC=a*e3
其中e1,e2,e3是AB ,AC ,BC 方向的单位向量,
aOA+bOB+cOC=0
即aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=0
即(a+b+c)OA+bAB+cAC=0
所以OA=-(bAB+cAC)/(a+b+c)=-(bc*e1+bc*e2)/(a+b+c)=-bc(e1+e2)/(a+b+c)
即OA=u(e1+e2),其中 u=-bc/(a+b+c)
所以OA是角BAC的角平分线
同理可以证得,OB是角度ABC的角平分线,OC是角度ACB的角平分线,
所以O是三角形的内心。
大写字母表示的都是向量
由于AB/c+AC/b向量的模是2cos(A/2),所以AO=|AO|*(AB/c+AC/b)/[2cos(A/2)]
而|AO|=r/sin(A/2) (设r是内切圆半径)
S△ABC=1/2*r(a+b+c)=1/2bcsinA,得r/sinA=bc/(a+b+c)
则AO=r*(AB/c+AC/b)/[2cos(A/2)sin(A/2)]=r*(AB/c+AC/b)/sinA=(AB/c+AC/b)bc/(a+b+c)
与AO=λ(AB/c+AC/b)比较,得λ=bc/(a+b+c)
设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,
∵O是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
得证
当o为三角形ABC的垂心时,tanA●向量OA+tanB●向量OB+tanC●向量OC=向量...
这是对的,三角形内任意一点O,若 S△BOC:S△AOC:S△AOB=x:y:z 则x·OA+y·OB+z·OC=0
如图,已知点O是三角形ABC的边AC上的任意一点(不与A、C重合),过点O作...
2. 证明:因为CE平方∠ACB,所以∠ACE=∠BCE,因为OE∥BC,所以∠OEC=∠BCE,所以∠ACE=∠OEC,所以OE=OC,同理OF=OC,所以OE=OF,1. 当O为AC中点时,四边形AECF是矩形,当O为AC中点时,OA=OC,因为OE=OF,所以四边形AECF为平行四边形,因为CE平方∠ACB,CF平方∠ACB的外角,所以∠ECF...
已知点O为锐角三角形ABC三边垂直平分线的交点,求证:角BOC=2角A_百度...
证明:如图 延长AO交BC于D ∵点O在AB的垂直平分线上 ∴AO=BO 同理:AO=CO ∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA ∵∠BOD=∠OAB+∠OBA,∠COD=∠OAC+∠OCA (三角形的外角)∴∠BOD=2∠OAB,∠COD=2∠OAC ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2(∠OAB+∠OAC)=2∠BAC ...
如图,点O是三角形ABC三条角平分线的交点,过点O作OG垂直BC,垂足为点G...
∵∠DOB是△AOB外的一角∴∠DOB=∠OAB+∠OBA∵∠OAB与∠OBA分别为∠A和∠B的一半.∴∠DOB=1\/2∠A+1\/2∠B.∵O是△ABC的三条角平分线的交点∴1\/2∠A+1\/2∠B+1\/2∠C=180÷2=90.∴∠DOB=90-1\/2∠C∵∠CGO=90.∴∠GCO+∠GOC=90.∴∠GOC=90-∠GCO=90-1\/2∠C.∴∠DOB=∠...
1、如图,O是三角形ABC的三条角平分线的交点,OG⊥BC,垂足为G。我想请教...
(1)∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB (三角形内角和180°)O是三角形ABC的3条角平分线的交点 所以∠OBC = (0.5)∠ABC, ∠OCB = (0.5)∠ACB ∠BOC = 180°- 0.5∠ABC -0.5∠ACB = 180° - 0.5(∠ABC+∠ACB)因为 ∠ABC + ∠ACB = 180°-∠BAC(三角形内角和180°)所以...
如图圆o是三角形abc的外接圆,ab为直径,od平行bc交圆o于点d交AC于点E...
1、证明:∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵OD\/\/BC,∴∠ODB=∠CBD,∴∠OBD=∠CBD,∴AD=CD(等角对等弦)。2、解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,设BC=x,则AC=4x\/3,根据勾股定理:BC²+AC²=AB²,25x²\/9=100 x=6,即BC=6,AC=8,∵AD=CD,∴弧AD=弧...
已知三角形ABC中,AB=AC,O为三角形ABC内1点,且OB=OC.求证AO垂直BC。_百...
先画个图。解:解:连接AO,并延长AO交BC于D.∵AO=OA(公共边)AB=AC(已知)OB=OC(已知)∴△AOB≌△AOC(SSS)∴∠AOB=∠AOC(全等三角形的对应角相等)又因∠BOD=∠COD(等角的补角相等)且OB=OC;∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一)
在△abc中,∠a=60°,点o为三角形abc外接圆圆心,bp=6pc=3求op最大值...
由圆内接四边形知∠BPC=120°,设∠BCP=a,则∠CBP=60°-a,在三角形BPC中,由正弦定理知 BC\/sin∠BPC=BP\/sina=CP\/sin(60°-a)=4\/√3,2BP+CP=(4\/√3)[2sina+sin(60°-a)]=(4\/√3)[2sina+(√3\/2)cosa-1\/2sina]=4[(√3\/2)sina+1\/2cosa]=4sin(a+30°)在三角形中0 ...
已知三角形ABC,点O为三角形重心,求证: OA + OB + OC =0 (OA,OB,OC都...
以OA ,OB为两相邻的边做平行四边形.又因为重心是中线的交点,所以,OC延长和平行四边形的另一个顶点D重合.所以可得,OD=OA+OB 又因为重心分中线的比为2:1,所以,OD=OC.所以 OA + OB + OC =0 你画个图就更清楚了!
三角形ABC内一点O,满足向量OA+OB+OC=0说明什么,可以转化成什么有用的...
说明O为△ABC的重心,找到了物体的重心就可以知道物体的受力点,之后找到物体平衡点有作用,对于物体的受力分析有作用。
叱干竖珍母: 证明: 设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F, ∵O是内心 ∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE 过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M, 所以四边形OMAN是平行四边形 根据平行四边形法则,得 向量OA =向量OM+向量ON =(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO =(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO =(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO ∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0 得证
琼山区17699527301: 向量中如何表示内心 - ?
叱干竖珍母: 已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 则aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量)证明:设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为O. |BC|=a,|AC|=b,|AB|=c aOA+bOB+cOC =aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA) =(a+b+c)OA+b(...
琼山区17699527301: 已知点o是△abc的内心,od⊥bc于点d,求证:∠doc=1\2∠a+∠b - ?
叱干竖珍母: ∵O是三角形内心 ∴OC平分∠ 即∠OCD=1/2∠ACB=1/2(180°-∠A-∠B)=90°-1/2∠A-1/2∠B ∵OD⊥BC ∴∠DOC=90°-∠OCD =90°-(90°-1/2∠A-1/2∠B) =1/2∠A+1/2∠B =1/2(∠A+∠B)
琼山区17699527301: 已知点o是三角形ABC的内心,求角BOC与角A的关系 - ?
叱干竖珍母: 解:∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-∠ABC/2-∠ACB/2=180°-(∠ABC+∠ACB)/2=180°-(180°-∠A)/2=90°+∠A/2 如仍有疑惑,欢迎追问. 祝:学习进步!
琼山区17699527301: 已知点O为△ABC的内心,∠ABC=50°,∠ACB=70°,∠BOC=______. - ?
叱干竖珍母:[答案] 如图, ∵点O为△ABC的内心, ∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB, ∴∠1= 1 2∠ABC= 1 2*50°=25°,∠2= 1 2∠ACB= 1 2*70°=35°, ∴∠BOC=180°-∠1-∠2=120°. 故答案为120°.
琼山区17699527301: 在三角形ABC中,AB=BC=6,AC=9.设O是三角形ABC的内心,若AO向量=pAB向量+qAC向量,则p/q的值为多少? - ?
叱干竖珍母: O是三角形ABC的内心,则:aOA+bOB+cOC=0 而:OB=OA+AB,OC=OA+AC,故:aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=(a+b+c)OA+bAB+cAC=0,即:AO=bAB/(a+b+c)+cAC/(a+b+c) 故:p=b/(a+b+c),q=c/(a+b+c),故:p/q=b/c=|AC|/|AB|=9/6=3/2
琼山区17699527301: 已知O为三角形ABC的内心,角A=50度,试求角BOC的度数 - ?
叱干竖珍母: 内心 是三个内角的平分线的交点.∠BOC=180-( ∠B+ ∠C)=180- (180-∠A)=90+ ∠A=115
琼山区17699527301: 在三角形ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,O为三角形ABC的内心,且向量AO=mAB+nBC(AO,AB,AC都为向量)则m+n=? - ?
叱干竖珍母:[答案] ∵O为△ABC内角平分线的交点,设|AB|=c,|AC|=b,|BC|=a,则有 a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=0,.(1) 又:向量OB=向量(OA-BA),向量OC=向量(OA-CA),向量AC=向量(AB+BC), 由(1)式得, a*向量OA+b*向量(OA-BA)+c*向...
琼山区17699527301: 已知点o是三角形ABC的内心,角BOC=155度,则角A等于多少?拜托各位大神 - ?
叱干竖珍母: 因为o是三角形ABC的内心 所以∠OBC=1/2∠ABC,∠OCB=1/2∠ACB 因为∠BOC+∠OBC+∠OCB=180° 所以∠OCB+∠OBC=180°-155°=25° 所以∠ABC+∠ACB= 2X25°=50° 所以∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-50°=130°
琼山区17699527301: O为等边三角形ABC的内心,设AB=a,则当图形绕着点O旋转时,AB BC CA在旋转过程中所形成的面的面积是多少?形成的面是什么面? - ?
叱干竖珍母:[答案] 是圆 这个圆的半径为OA,因为是等边三角形,内心为三条角平分线的交点,等边三角形三线合一,也为高线,因为AB=a,所以,(AO连起来延长到BC交BC于D)BO=2倍根号3/3a,圆的面积为:派R2=12/9a方派